Gauss-Verfahren: Lösungsmenge bestimmen

Question

Aufgabe:

Gauss-Verfahren: Bestimmen sie die Lösungsmenge ohne GTR

a) x1+x2+x3= 0

x1+x2= 2

2x1+2x3= 4

Problem/Ansatz:

Ich weiss, dass ich das LGS in Stufenform bringen muss, komme aber nicht weiter. Habe die zweite Gleichung *(-1) genommen und mit der ersten Gleichung addiert und da kam die Gleichung x3= -2 heraus. Diese kann man mit der dritten Gleichung tauschen, aber wie geht es weiter? Bitte einen Lösungsweg ohne Matrixschreibweise, die Lösungen kenne ich selbst.

Answer 1

Ich schreibe x1, x2, x3 als x, y, z

x + y + z = 0
x + y = 2
2·x + 2·z = 4

II - I ; III/2 - I

x + y + z = 0
-z = 2 → z = -2
-y = 2 → y = -2

Hier könntest du noch die II und III zeile tauschen damit du eine Zeilenstufenform hast. Man muss die Matrix aber nicht auf Zeilenstufenform bringen um sie lösen zu können. Das geht auch so.

Das dann in x + y + z = 0 einsetzen

x + (-2) + (-2) = 0 → x = 4

Comments

Dankeschön für die Antwort, das heisst also, man muss das LGS gar nicht zwingend in die Stufenform bringen? Wenn ich z=-2 habe, kann ich das ja einfach in die 3. Gleichung einsetzen, um x herauszufinden und dann x und z in die 2. Gleichung einsetzen, um y herauszufinden. Darf man das so machen?

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Dankeschön für die Antwort, das heisst also, man muss das LGS gar nicht zwingend in die Stufenform bringen?

Richtig. Die Zeilenstufenform machen Lehrer, weil das hübsch aussieht. Es ist nicht immer zweckmäßig. Oft bietet es sich an zuerst z zu eleminieren.

Wenn ich z=-2 habe, kann ich das ja einfach in die 3. Gleichung einsetzen, um x herauszufinden und dann x und z in die 2. Gleichung einsetzen, um y herauszufinden. Darf man das so machen?

Genau so darfst du das machen, um alle 3 Unbekannten herauszufinden.