Zeigen Sie, dass die Funktion bijektiv und monoton wachsend ist.

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Zeigen Sie, dass die Funktion \( h: \mathbb{R} \rightarrow(-1,1) \) gegeben durch
\( h(x)=\frac{x}{1+|x|} \)
bijektiv und monoton wachsend ist. Skizzieren Sie \( h \) und \( h^{-1} \).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe leider nicht wie genau man die Aufgabe lösen muss, dass Thema ist Monotone und inverse Funktionen.

Die einzige Ansätze auf die ich gekommen bin sind, dass  eine Umkehrfunktion einer Funktion f genau dann existiert, wenn die Funktion injektiv ist. Und f ist dann streng monoton, wenn gilt:  f (x1) ≠ f (x2) für x1 ≠ x2, also wenn sie injektiv ist. Aber hier steht, dass die Funktion bijektiv ist, d.h man müsste ja auch die Surjektivität aufzeigen oder? Und wie zeichnet man dann die Funktionen?

Answer 1

h^-1:

1. Fall: x>=0

y= x/(1+|x|)

y+xy-x =0

x(y-1) = -y

x= -y/(y-1)

h^-1(x) = -x/(x-1)

2. Fall: x<0

y*(1-x)=x

y-xy-x=0

x(-y-1)= -y

x= -y/(-y-1)

h^-1(x) = y/(y+1)

Answer 2

Eine Funktion \(h:\; A\to B\) ist genau dann bijektive, wenn sie eine Umkehrfunktion

\(g;\; B\to A\) besitzt, also eine Funktion \(g:\; B\to A\) mit

\(h\circ g=id_B\) und \(g\circ h=id_A\).

Betrachte in unserem Falle \(g:\; (-1,1)\to \mathbb{R}\) mit

\(g(x)=\frac{x}{1-|x|}\). Es ist \(h^{-1}=g\).