Zeige, dass Funktion stetig, streng monoton wachsend und bijektiv ist

Question

Aufgabe:

Sei die Teilmenge D = [−1; 0] υ (1; 2] von R definiert. Wir betrachten die auf
dieser Teilmenge D gegebene Funktion

f:D → [−1; 1] ; f(x):= x falls x∈[-1, 0], x-1 falls x∈(1, 2]

Zeigen Sie, dass diese Funktion stetig, streng monoton wachsend und bijektiv ist
Problem/Ansatz:

Mein Ansatz zur stetigkeit wäre, erst stetigkeit im intervall [-1, 0] und dann in (1, 2] zu zeigen.

Bei Bijektivität muss ich logischerweise Injektivität und Surjektivität der Funktuon zeigen.

Answer 1

Mein Ansatz zur stetigkeit wäre, erst stetigkeit im intervall [-1, 0] und dann in (1, 2] zu zeigen.

Ist OK:

Bei Bijektivität muss ich logischerweise Injektivität

Seien also a,b ∈ D = [−1; 0] υ (1; 2] und

       f(a) = f(b)

Betrachte 4 Fälle:

1. Fall  a,b ∈ [−1; 0] ==>   a = b  
2. Fall  a∈ [−1; 0]    b ∈  (1; 2]

==>      a = b - 1

             1 = b-a   #

wegen b>1 und a≤0 ist aber immer b-a > 1 also # nicht möglich.

Fall 2 tritt also nicht ein.

3. Fall b∈ [−1; 0]    a ∈  (1; 2]

==>      b  = a - 1     ==>          1 = a-b   #

wie bei Fall 2 nicht möglich

4. Fall   a,b ∈  (1; 2]

    ==>  a-1 = b-1 ==>  a=b

Also folgt in jedem (möglichen) Fall asu f(a)=f(b)

auch a=b .  Also f Injektiv.

surjektiv: Sei y ∈  [−1; 1]

1. Fall: y ∈  [−1; 0] ==> Es gibt x ∈ [−1; 0] mit f(x) = y

nämlich x = y.

2. Fall:   y ∈  (0; 1] . Bestimme x mit f(x) = y durch

                                    x - 1 = y

                                      x = y+1

und wegen  y ∈  (0; 1]  ist x  ∈  (1; 2] .

Also gibt es zu jedem y ∈  [−1; 1]   ein x  ∈  D mit

f(x) = y  ==>  f surjektiv.