wie berechnet man die Hesse-Matrix

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Hesse-Matrix der Abbildung $|x|$ auf $\mathbb{R}^{n} \backslash\{0\}$

Comments

Ist damit die euklidische Norm gemeint?

---

Ja, damit ist die euklidische Norm gemeint.

Answer 1

Es ist

    $\displaystyle|x| = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2} = \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{\frac{1}{2}}$

und somit

    $\displaystyle\frac{\partial |x|}{\partial x_i} = 2x_i\cdot\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{-\frac{1}{2}}=\frac{x_i}{|x|}$,

also

    $\displaystyle\frac{\partial^2 |x|}{\partial x_i\partial x_j} = x_i\cdot 2x_j\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)\cdot\left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{-\frac{3}{2}}=-\frac{x_ix_j}{|x|^3}$

für $i\neq j$ und

    $\begin{aligned}\frac{\partial^2 |x|}{\partial x_i^2} &= \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{-\frac{1}{2}} + x_i\cdot 2x_i\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)\cdot \left(\sum_{i=1}^n x_i^2\right)^{-\frac{3}{2}}\\&=\frac{1}{|x|}-\frac{x_i^2}{|x|^3}\text{.}\end{aligned}$

Comments

Warum ist die Fallunterscheidung $i= j , i \neq j$ notwendig?