Bestimmen Sie die Länge des Graphen der Funktion f : R → R,

Question

Aufgabe: Bestimmen Sie die Länge des Graphen der Funktion f : R → R
x → a(x − b)² + c
zwischen x = s und x = t.

Problem/Ansatz: Wisst, ihr wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen könnte?

Answer 1

Aloha :)

Der Vektor $\vec r=\binom{x}{f(x)}=\binom{x}{a(x-b)^2+c}$ fährt die Kurve ab. Die Länge ist daher:$$\ell=\int\limits_{\vec r(s)}^{\vec r(t)}dr=\int\limits_{s}^t\left\|\frac{d\vec r}{dx}\right\|dx=\int\limits_s^t\left\|\binom{1}{2a(x-b)}\right\|dx=\int\limits_s^t\sqrt{1+4a^2(x-b)^2}\,dx$$

Das Integral ist so schlimm, wie es aussieht. Wir betrachten daher zuerst:$$I\coloneqq\int\sqrt{1+x^2}\,dx=\int\frac{1+x^2}{\sqrt{1+x^2}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,dx+\int \underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}_{=v'}\,dx$$Das erste Integral ist ein Standardintegral.

Das zweite bestimmen wir mittels partieller Integration:$$I=\operatorname{arsinh}x+\underbrace{x}_{=u}\cdot\underbrace{\sqrt{1+x^2}}_{=v}-\underbrace{\int\underbrace{1}_{=u'}\cdot\underbrace{\sqrt{1+x^2}}_{=v}\,dx}_{=I}$$Wir erhalten auf der rechten Seite dasselbe Integral $I$, von dem wir auf der linken Seite ausgegangen sind. Wir lösen die Gleichung nach $I$ auf und erhalten:$$I=\int\sqrt{1+x^2}\,dx=\frac12\operatorname{arsinh}x+\frac x2\sqrt{1+x^2}+\text{const}$$

Mit der Substitution $u\coloneqq2a(x-b)$ kann man das Integral aus der Längenformel auf das gerade bestimmte Integral zurückführen. Die Freude daran möchte ich dir nicht nehmen und gebe nur das Ergebnis an:$$\ell=\left[\frac{1}{4a}\operatorname{arsinh}(2a(x-b))+\frac{x-b}{2}\sqrt{1+4a^2(x-b)^2}\right]_s^t$$Darin kann man $s$ und $t$ einsetzen.

Comments

Hallo :)

Ich danke dir sehr für deine Antwort, das ist wirklich sehr hilfreich :)

Liebe Grüße

Answer 2

Allgemeine Formel:

$s= \int\limits_{a}^{b}\sqrt{1+[f´(x)]^{2}}dx$

$f(x) = a*(x − b)^2 + c$   zwischen $x = s$   und  $x = t$

$f´(x) = 2a*(x − b)$   →$[f´(x)]^2 = 4a^2*(x − b)^2$

$s= \int\limits_{s}^{t}\sqrt{1+4a^2*(x − b)^2 }dx$

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Vielen lieben Dank :)