A3=A finde charakteristisches und Minimalpolynome

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Sei $A \in \operatorname{Mat}(3, \mathbb{C})$ nicht idempotent mit $A^{3}=A$. Listen Sie alle Möglichkeiten für $\chi_{A}$ und $\mu_{A}$ und geben Sie jeweils eine passende Beispielmatrix an.

Problem/Ansatz:

Ich habe nur ein charakteristisches Polynom. x²-1 für (-1 1

                                                                                          0  1)

Gibt es eine möglichkeit die Systematisch zu finden?

Comments

$A$ soll eine $3\times 3$-Matrix sein.

Answer 1

$A$ ist "Nullstelle" des Polynoms $X^3-X=X(X-1)(X+1)$.

Das Minimalpolynom $\mu_A$ muss also

ein Teiler von $X(X-1)(X+1)$ sein. Überlege dir, welche Möglichkeiten

dann für $\mu_A$ in Frage kommen und bei welchen unter

ihnen $A$ nicht idempotent ist.

Comments

Ich hab jetzt die Matrix (0 0 0 | 0 -1 0 | 0 0 1)

Da ist $\mu_A$ = $\chi_{A}$

Soll ich jetzt für x(x-1)

x(x+1) noch eine finden?

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Ja, wenn es möglich ist.

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Ok vielen Dank.

Für x(x-1) ist es idempotent oder? denn x²-x =0 <=> x²=x

und für x(x+1) nicht