Zeigen Sie ohne Verwendung von Differentialrechnung, dass f ein eindeutiges Minimum hat

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ N. Eine inhomogene quadratische Polynomfunktion f: Rⁿ>R
ist gegeben durch A = (aij )i,j ∈ Mat_n(R), b = (b1, . . . , bn)^t∈ Rⁿ
, c ∈ R und
f(x) = ∑ⁿ_i,j=1 aij*xi*xj + 2*∑ⁿ_i=1 bi*xi +c = x^t Ax+2b^tx+c       

. Wir betrachten nun den Fall, dass A positiv definit ist.
Zeigen Sie ohne Verwendung von Differentialrechnung, dass f ein eindeutiges Minimum
y ∈ Rⁿ besitzt (d.h. f(x) > f(y) für alle x ∈ Rⁿ\ {y}). Bestimmen Sie y und f(y).
Hinweis: Lösen Sie den Fall b = 0. Die Ruckführung auf diesen Fall erfolgt wie im
wohlbekannten Fall n = 1 mittels “quadratischer Ergänzung”.

Problem/Ansatz:

Wie macht man sowas?

Answer 1

Man nutzt aus, dass \(A\) positiv definit ist. Das heißt:

\(x^TAx >0 \text{ für alle } x\neq 0 \:\:\text{(Nullvektor)}  \quad (1)\).

Insbesondere ist \(A\) invertierbar, da wegen (1) \(\ker A =\{0\}\) sein muss.

Außerdem folgt aus \(x^TAx = \left(x^TAx\right)^T = x^TA^Tx\), dass auch \(A^T\) positiv definit ist, und damit ist auch \(A+A^T\) positiv definit und folglich invertierbar.

Betrachte nun für einen festen Vektor \(s\in \mathbb R^n\):

\((x+s)^TA(x+s)= x^TAx + s^TAx + x^TAs + s^TAs \)

\(= x^TAx + \left((A+A^T)s\right)^Tx + s^TAs \quad (2)\)

Jetzt vergleichen wir das mit der gegebenen Funktion

\(f(x) = x^TAx + 2b^Tx+c \quad (3) \)

Wir wählen nun \(s\) wie folgt:

\((A+A^T)s= 2b \Leftrightarrow \boxed{s= 2(A+A^T)^{-1}b \quad (4)}\)

Damit können wir \(f\) so schreiben:

\(\boxed{f(x)} \stackrel{(3),(4)}{=} x^TAx + \left((A+A^T)s\right)^Tx + s^TAs + (c - s^TAs) \)

\(\stackrel{(2)}{=}(x+s)^TA(x+s) + c - s^TAs\)

\(\boxed{\stackrel{(1)}{\geq} c - s^TAs}\)

Gleichheit gilt dabei genau dann, wenn

 \(\boxed{x= -s = -2(A+A^T)^{-1}b}\)