Zeigen sie, dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:

Question

Sei \( H=E_{n}-2 w w^{\top} \in \mathbb{R}^{n, n} \), wobei \( w \in \mathbb{R}^{n} \) mit \( \|w\|_{2}=1 \) ist. Zeigen sie, dass folgende Eigenschaften erfüllt sind:

1. \( H \) ist symmetrisch,
2. \( H \) ist invertierbar und \( H^{-1}=H \),
3. \( H \) ist orthogonal,
4. \( H w=-w \),
5. \( H^{n}=E \), falls \( n \) gerade, und \( H^{n}=H \), falls \( n \) ungerade ist.

Comments

$$\begin{aligned}❷\ H\cdot H&=(E-2ww^\top)\cdot(E-2ww^\top)\\&=E-2ww^\top-2ww^\top+4w\underbrace{w^\top w}_{=1}w^\top\\&=E-4ww^\top+4ww^\top=E.\end{aligned}$$$$❹\ Hw=(E-2ww^\top)\cdot w=w-2w\underbrace{w^\top w}_{=1}=w-2w=-w.$$

Answer 1

1)

$$H^T=(E-2ww^T)^T=E^T-(2ww^T)^T=E-2(w^T)^Tw^T=E-2ww^T=H$$

3)

$$HH^T=HH=(E-2ww^T)(E-2ww^T)=E^2-E2ww^T-2ww^TE+4ww^Tww^T$$

$$=E-2ww^T-2ww^T+4ww^T=E$$

5)

gerade:

$$H^{2n}=(E-2ww^T)^{2n}=((E-2ww^T)^2)^n=((E-2ww^T)(E-2ww^T))^n=(E-4ww^T+4ww^T)^n=E^n=E$$

ungerade:

$$H^{2n+1}=(E-2ww^T)^{2n}(E-2ww^T)=E^n(E-2ww^T)=(E-2ww^T)=H$$

LG