Orthogonalbasis einer Abbildung bestimmen

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie eine Orthogonalbasis für \( f \)
\(f: K^{2 \times 2} \times K^{2 \times 2} \rightarrow K, \quad A, B \mapsto \operatorname{Spur}\left(A^{t} B\right)\)

Answer 1

Nimm doch einfach die Standardbasis

\( w_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},w_2=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix},w_3=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix},\)\(w_4=\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

und wende wie bei

https://de.wikipedia.org/wiki/Gram-Schmidtsches_Orthogonalisierungsverfahren#Algorithmus_des_Orthogonalisierungsverfahrens

das Gram-Schmidt Verfahren an. Dabei ist dein f ja wohl das Skalarprodukt.

Also \( v_1=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)

\( v_2=w_2 - \frac{f(v_1,w_2)}{f(v_1,v_1)}\cdot v_1=w_2 - \frac{Spur(v_1^T \cdot w_2)}{Spur(v_1^T \cdot w_2)}\cdot v_1=w_2-0 \cdot v_1 \)

\(   =w_2 =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\)   etc.