Integral und Folgengrenzwert vertauschbar?

Question

Aufgabe: Betrachten Sie die stückweise stetigen Funktionen \( f_{n}:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, n \in \mathbb{N}_{\geq 1} \), mit

\( f_{n}(x)=\left\{\begin{array}{ll} n^{2} x, & x \in\left[0, \frac{1}{n}\right] \\ 0, & x \in\left(\frac{1}{n}, 1\right] \end{array} .\right. \)
Prüfen Sie, ob Integration und Folgengrenzwertbildung hier vertauschbar sind, d.h. ob \( \int \limits_{0}^{1} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} f_{n}(x) d x=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\int \limits_{0}^{1} f_{n}(x) d x\right) \) gilt.

Problem/Ansatz: Also das erste Integral müsste 0 sein, da sie punktweise konvergiert in 0, mich verwirrt das zweite integral, kann mir da jemand helfen?

Answer 1

\(\begin{aligned} \int_{0}^{1}f_{n}(x)\,\mathrm{d}x & =\int_{0}^{\frac{1}{n}}f_{n}(x)\,\mathrm{d}x+\int_{\frac{1}{n}}^{1}f_{n}(x)\,\mathrm{d}x\\ & =\int_{0}^{\frac{1}{n}}n^{2}x\,\mathrm{d}x+\int_{\frac{1}{n}}^{1}0\,\mathrm{d}x\\ & =\left[\frac{1}{2}n^{2}x^{2}\right]_{0}^{\frac{1}{n}}+0 \end{aligned}\)

Comments

Okay, vielen Dank. Ist es dann richtig, dass der limes dann 1/2 ist und da das erste integral null ist, folgt das sie nicht vertauschbar sind

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Es gibt Computerprogramme, die solche Integrale ausrechnen können.