Wie berechne ich die Eigenwerte eines charakteristischen Polynoms und gebe seine Diagonalgestalt an?

Question

Aufgabe:

$$\begin{pmatrix} 3& 2 & -2 \\ 2 & 3 & -2\\ 3 & 3 &-2 \end{pmatrix}$$

a) Berechnen sie zu jedem Eigenwert von A: den Eigenraum, die Menge aller Eigenvektoren, geometrische und algebraische Vielfachheit.

b) Geben sie eine Matrix S ∈ Gl(ℝ,3) an, für welche S^-1AS Diagonalgestalt hat.
Problem/Ansatz:

Das charakteristische Polynom habe ich schon berechnet mir dem Ergebnis T³-4T²+5T-2

Ich habe nur bei den Aufgaben a und b Probleme. Was die geometrische und was die algebraische Vielfachheit ist verstehe ich noch aber die Eigenwerte zu berechnen fällt mir schwer.

Die Diagonalgestalt anzugeben bzw. den Weg wie ich das angebe, verstehe ich leider garnicht und brauche deswegen Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Das charakteristische Polynom hast du korrekt bestimmt:$$p(t)=t^3-4t^2+5t-2=(t-2)(t-1)^2$$Die Eigenwerte sind die Nullstellen dieses Polynoms.

Wir haben also einen einfachen und einen doppelten Eigenwert:$$\lambda_1=2\quad;\quad\lambda_2=1\quad;\quad\lambda_3=1$$Zugehörige Eigenvektoren sind die Lösungen der entsprechenden Gleichungssysteme:$$\left(\begin{array}{ccc}3-\lambda & 2 & -2\\2 & 3-\lambda & -2\\3 & 3 & -2-\lambda\end{array}\right)\cdot\vec x=\vec 0$$

Eigenvektor zu $\lambda_1=2$:

$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline1 & 2 & -2 & 0 &\\2 & 1 & -2 & 0 & -2\cdot\text{Zeile 1}\\3 & 3 & -4 & 0 & -3\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 2 & -2 & 0 &\\0 & -3 & 2 & 0 & \div(-3)\\0 & -3 & 2 & 0 & -\text{Zeile 2}\\\hline1 & 2 & -2 & 0 &-2\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -\frac23 & 0 & \\0 & 0 & 0 & 0 & \\\hline1 & 0 & -\frac23 & 0 &\Rightarrow x-\frac23z=0\\[0.5ex]0 & 1 & -\frac23 & 0 & \Rightarrow y-\frac23z=0\\[0.5ex]0 & 0 & 0 & 0 & \end{array}$$Wir stellen die beiden Gleichungen um$$x=\frac23z\quad;\quad y=\frac23z$$und geben den zugehörigen Lösungsraum an:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac23z\\[1ex]\frac23z\\[1ex]z\end{pmatrix}=z\begin{pmatrix}\frac23\\[1ex]\frac23\\[1ex]1\end{pmatrix}=\frac z3\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}$$Die Eigenvektoren sind eine Basis des Eigenraums, damit haben wir einen möglichen Eigenvektor zu $\lambda_1=2$ gefunden:$$\pink{\lambda_1=2\quad;\quad\vec v_1=\begin{pmatrix}2\\2\\3\end{pmatrix}}$$

Eigenvektor zu $\lambda_{2;3}=1$:

$$\begin{array}{rrr|c|l}x & y & z & = & \text{Operation}\\\hline2 & 2 & -2 & 0 &\div2\\2 & 2 & -2 & 0 & -\text{Zeile 1}\\3 & 3 & -3 & 0 & -1,5\cdot\text{Zeile 1}\\\hline1 & 1 & -1 & 0 &\Rightarrow x+y-z=0\\0 & 0 & 0 & 0 &\\0 & 0 & 0 & 0 &\end{array}$$Mit $(z=x+y)$ erhalten wir den Lösungsraum$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x\\y\\x+y\end{pmatrix}=x\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+y\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}$$Damit haben wir zwei mögliche Eigenvektor zu $\lambda_{2:3}=1$ gefunden:$$\pink{\lambda_{2;3}=1\quad;\quad\vec v_2=\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}\quad;\quad \vec v_3=\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}$$

Die Matrix $S$ erhältst du nun einfach, indem du die Eigenvektoren in die Spalten schreibst:$$S=\left(\begin{array}{rrr}2 & 1 & 0\\2 & 0 & 1\\3 & 1 & 1\end{array}\right)$$

Wenn du nun zur Probe $(S^{-1}AS)$ ausrechnest, sollte eine Diagonalmatrix rauskommen, bei der die Eigenwerte auf der Hauptdiagonalen stehen.

Answer 2

Hallo

erst mal die Eigenwerte, also die Lösungen des Polynoms berechnen, dazu einen Wert raten , ganzzahlige Faktoren von -2 kommen in Frage also probier immer zuerst 1, dann Polynomdivision  und die 2 weiteren Lösungen bestimmen- die seien ti

Eigenvektoren: (A-tiE)x=0 lösen

daraus die Diagonalmatrix . Du hattest das doch in Vorlesung und Skript , wie kann man dann gar nichts verstehen. Deine Probleme - nach durcharbeiten des Skript oder Buches  musst du schon genauer sagen.

Gruß lul