Aloha :)
Die Eigenwertgleichung lautetA⋅v=λ⋅v;v=0Um die Eigenwerte λ zu bestimmen, bringen wir alle Terme auf die linke SeiteA⋅v−λ⋅v=0nutzen aus, dass das Produkt aus der Einheitsmatrix 1 passender Größe und eines Vektors v als Ergebnis wieder den Vektor hat, also (1⋅v=v)A⋅v−λ⋅1⋅v=0damit wir den Vektor v nach rechts ausklammern können:(A−λ⋅1)⋅v=0
Offensichtlich erfüllt der Vektor v=0 immer dieses Gleichungssystem. Wenn das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, wird es also nur die Lösung v=0 geben. Per Definition müssen Eigenvektoren aber v=0 sein. Das heißt, wir müssen diejenigen Werte für λ finden, für die das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.
Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix (A−λ⋅1) verschwindet. Die Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte lautet also:det(A−λ⋅1)=!0
Das rechnen wir jetzt mal zusammen für deine Matrix durch. Da die Matrix (λ⋅1) auf der Hauptdiagonalen nur λ stehen hat und ansonsten nur Nullen enthält, subtrahieren wir auf der Hauptdiagonalen von A jeweils ein λ:0=!det⎝⎛−1−λ0−295−λ−8−20−1−λ⎠⎞=(5−λ)⋅((−1−λ)2−(−2)2)0=(5−λ)⋅((λ2+2λ+1)−4)=(5−λ)⋅(λ2+2λ−3)0=(5−λ)⋅(λ+3)⋅(λ−1)
Wir lesen die 3 Eigenwerte ab:λ1=5;λ2=−3;λ3=1
Die Reihenfolge ist eigentlich egal. Manchmal werden Eigenwerte aber der Größe nach sortiert. Schau mal in deine Vorlesung, ob ihr dazu eine Vereinbarung getroffen habt.