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Aufgabe:


Gegeben ist die Matrix A \mathbf{A} mit
A=(192050281) \mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc} -1 & 9 & -2 \\ 0 & 5 & 0 \\ -2 & -8 & -1 \end{array}\right)
Berechnen Sie alle Eigenwerte.
λ1= \lambda_{1}=
λ2= \lambda_{2}=
λ3= \lambda_{3}=

Kann mir das jemand bitte ausrechnen? Bräuchte Hilfe.

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Beste Antwort
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Benutze matrixcalc:

Nein tue das nicht (!), solange du noch keine Übung darin hast,
es selbst hinzubekommen.

Manchmal frage ich mich, ob ich nicht Perlen vor die Säue werfe.

Benutze matrixcalc:

Nein tue das nicht (!), solange du noch keine Übung darin hast,
es selbst hinzubekommen.

Ich kann nicht verstehen, dass das die beste Lösung sein soll !!!

Will man nichts mehr lernen und selber können?

Warum studieren, wenn die KI alles für einen macht ?

Tschakabumba hätte diese Auszeichnung verdient.

Tschakabumba, entschuldige bitte, es war keine Absicht, dir die "beste Antwort" abzugreifen, ich bin der Meinung, du hättest die verdient , ich habe bei deiner Antwort einen Like dagelassen. Sollte nur als Konttolle dienen.

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Aloha :)

Die Eigenwertgleichung lautetAv=λv;v0\mathbf A\cdot\vec v=\lambda\cdot\vec v\quad;\quad\vec v\ne0Um die Eigenwerte λ\lambda zu bestimmen, bringen wir alle Terme auf die linke SeiteAvλv=0\mathbf A\cdot\vec v-\lambda\cdot\vec v=\vec 0nutzen aus, dass das Produkt aus der Einheitsmatrix 1\mathbf1 passender Größe und eines Vektors v\vec v als Ergebnis wieder den Vektor hat, also (1v=v)(\mathbf1\cdot\vec v=\vec v)Avλ1v=0\mathbf A\cdot\vec v-\lambda\cdot\mathbf1\cdot\vec v=\vec 0damit wir den Vektor v\vec v nach rechts ausklammern können:(Aλ1)v=0\left(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf1\right)\cdot\vec v=\vec 0

Offensichtlich erfüllt der Vektor v=0\vec v=0 immer dieses Gleichungssystem. Wenn das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist, wird es also nur die Lösung v=0\vec v=0 geben. Per Definition müssen Eigenvektoren aber v0\vec v\ne\vec 0 sein. Das heißt, wir müssen diejenigen Werte für λ\lambda finden, für die das Gleichungssystem nicht eindeutig lösbar ist.

Das ist genau dann der Fall, wenn die Determinante der Matrix (Aλ1)(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf1) verschwindet. Die Gleichung zur Bestimmung der Eigenwerte lautet also:det(Aλ1)=!0\pink{\operatorname{det}(\mathbf A-\lambda\cdot\mathbf 1)\stackrel!=0}

Das rechnen wir jetzt mal zusammen für deine Matrix durch. Da die Matrix (λ1)(\lambda\cdot\mathbf1) auf der Hauptdiagonalen nur λ\lambda stehen hat und ansonsten nur Nullen enthält, subtrahieren wir auf der Hauptdiagonalen von A\mathbf A jeweils ein λ\lambda:0=!det(1λ9205λ0281λ)=(5λ)((1λ)2(2)2)0\stackrel!=\operatorname{det}\left(\begin{array}{rrr}\green{-1-\lambda} & 9 & \green{-2}\\0 & \red{5-\lambda} & 0\\\green{-2} & -8 & \green{-1-\lambda}\end{array}\right)=(\red{5-\lambda})\cdot\left((\green{-1-\lambda})^2-(\green{-2})^2\right)0=(5λ)((λ2+2λ+1)4)=(5λ)(λ2+2λ3)\phantom0=(5-\lambda)\cdot((\lambda^2+2\lambda+1)-4)=(5-\lambda)\cdot(\lambda^2+2\lambda-3)0=(5λ)(λ+3)(λ1)\phantom0=(5-\lambda)\cdot(\lambda+3)\cdot(\lambda-1)

Wir lesen die 3 Eigenwerte ab:λ1=5;λ2=3;λ3=1\quad\lambda_1=5\quad;\quad\lambda_2=-3\quad;\quad\lambda_3=1

Die Reihenfolge ist eigentlich egal. Manchmal werden Eigenwerte aber der Größe nach sortiert. Schau mal in deine Vorlesung, ob ihr dazu eine Vereinbarung getroffen habt.

Avatar von 153 k 🚀

Bist der Beste. Danke!

Dies ist ganz offensichtlich die beste Lösung!

Wer hat nur die Antwort von aki57

als beste ausgezeichnet ?

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Berechne das charakteristische Polynom

det(XE3A)\det(XE_3-A) und bestimme dessen Nullstellen.

Das sind die Eigenwerte von AA.

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