Ermitteln Sie den Eigenwert λ zum Eigenvektor v

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die Matrix $\mathbf{A}$ und ein Eigenvektor $\vec{v}$ der Matrix $\mathbf{A}$ mit
$\mathbf{A}=\left(\begin{array}{cccc} 9 & 1 & -2 & 8 \\ 1 & 9 & 8 & -2 \\ -8 & 2 & 9 & 1 \\ 2 & -8 & 1 & 9 \end{array}\right), \quad \vec{v}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 2 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)$
Ermitteln Sie den Eigenwert $\lambda$ zum Eigenvektor $\vec{v}$.
$\lambda=$

Wie funktioniert diese Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)

Hier brauchst du nur eine Matrix-Multiplikation durchzuführen und das Ergebnis auf die Form der Eigenwert-Gleichung $\left(A\cdot\vec v=\pink\lambda\cdot\vec v\right)$ zu bringen:$$\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}9 & 1 & -2 & 8\\1 & 9 & 8 & -2\\-8 & 2 & 9 & 1\\2 & -8 & 1 & 9\end{array}\right)}_A\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{r}-2\\2\\2\\-2\end{array}\right)}_{\vec v}=\left(\begin{array}{r}-36\\36\\36\\-36\end{array}\right)=\underbrace{\pink{18}}_{\pink\lambda}\cdot\underbrace{\left(\begin{array}{r}-2\\2\\2\\-2\end{array}\right)}_{\vec v}$$

Der gesuche Eigenwert ist also $\lambda=18$.