Aufgabe:
Es sei φ ∈ C^1(R). Finden Sie eine differenzierbare Funktion u: R^2 → R mit
\( \left\{\begin{array}{ll}\frac{\partial u}{\partial x}(x, y)+y \frac{\partial u}{\partial y}(x, y)=0 & \text { für } x, y \in \mathbb{R} \text { und } \\ u(0, y)=\varphi(y) & \text { für } y \in \mathbb{R}\end{array}\right. \)
Problem/Ansatz:
Wir wissen, dass man zunächst Funktionen f finden soll , sodass x → u(x, f (x)) konstant ist. Dann könnten wir u(x, f(x)) = C setzen, wobei C eine Konstante ist. Dann leiten wir diese Gleichung nach x ab:
∂u/∂x + ∂u/∂y * ∂f/∂x = 0.
Da x und y unabhängige Variablen sind, muss der Ausdruck konstant sein.
Um diese Gleichung zu erfüllen, setzen wir ∂u/∂x = 0 und ∂u/∂y * ∂f/∂x = 0. Da ∂u/∂x = 0, ist die Funktion u unabhängig von x. Daher nehmen wir an, dass u(y) = φ(y), wobei φ eine Funktion φ: R → R ist.
Das gleiche müsste man jetzt für die zweite Bedingung tun, allerdings sind wir uns nicht mal sicher, ob das alles eine Lösung liefern wird und ob der Ansatz richtig ist. Wir wissen nicht mehr weiter bei der Aufgabe.
