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Aufgabe:

Sei A ⊂ ℝ2x2 die Teilmenge, welche aus Matrizen der For
(xyyx) \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}
besteht, wobei x, y ∈ ℝ. Zeigen Sie, dass A mit der üblichen Addition und Multiplikation von
Matrizen einen Körper bildet.


Problem/Ansatz:

brauche Hilfe hab garkeine Ahnung ):

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4 Antworten

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Die Übersicht der nachzuweisenden Körpereigenschaften findest du in deiner Mitschrift oder hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Körper_(Algebra)#Einzelaufzählung_der_…

Nutze für die 3 aufgeführten Elemente a, b und c die Matrizen

a=(xyyx) \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix} , b=(rssr) \begin{pmatrix} r & s\\ -s & r\end{pmatrix}   und c=(uvvu) \begin{pmatrix}u & v\\ -v & u\end{pmatrix} (und bilde mit denen die in den Körpereigenschaften angegebenen Summen und Produkte).

Dabei müssen wieder Matrizen der vorgegebenen Grundform entstehen.

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  1. Addition

    • Zeige dass (0000)A\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\in A ist.
    • Zeige dass (xyyx)+(xyyx)A\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}x'& y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A ist wenn (xyyx)A\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A und (xyyx)A\begin{pmatrix}x' & y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A ist.
    • Zeige dass (xyyx)A\begin{pmatrix}-x & -y\\y & -x\end{pmatrix}\in A ist, wenn (xyyx)A\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A ist und dass deren Summe (0000)\begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix} ist.
  2. Multiplikation

    • Zeige dass (1001)A\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\in A ist.
    • Zeige dass (xyyx)(xyyx)A\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}x' & y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A ist wenn (xyyx)A\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A und (xyyx)A\begin{pmatrix}x' & y'\\-y' & x'\end{pmatrix}\in A ist.
    • Zeige dass (xx2+y2yx2+y2yx2+y2xx2+y2)A\begin{pmatrix}\frac{x}{x^{2}+y^{2}} & -\frac{y}{x^{2}+y^{2}}\\\frac{y}{x^{2}+y^{2}} & \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\end{pmatrix} \in A ist wenn (xyyx)A{(0000)}\begin{pmatrix}x & y\\-y & x\end{pmatrix}\in A\setminus\left\{ \begin{pmatrix}0 & 0\\0 & 0\end{pmatrix}\right\} ist und dass deren Produkt (1001)A\begin{pmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{pmatrix}\in A ist.
  3. Begründe warum die hier nicht aufgeführten Körperaxiome in AA gelten.

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Der schnelle Weg:

Wir wissen, dass C\mathbb C ein Körper ist. Nun betrachte

Φ : CR2×2 mit Φ(x+iy)=(xyyx)\Phi:\: \mathbb C \rightarrow \mathbb R^{2\times 2} \text{ mit } \Phi(x+iy) = \begin{pmatrix} x & y \\ -y & x \end{pmatrix}

Zeige nun, dass Φ\Phi ein Körperhomomorphismus ist - das sind die drei schnell zu zeigenden Eigenschaften im verlinkten Dokument. Außerdem ist schnell zu sehen, dass Φ\Phi injektiv ist.

Damit ist C\mathbb C isomorph zu A=imΦA = \operatorname{im}\Phi. Also ist AA ein Körper.

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Die Abbildung R2×2R2,  (xyuv)(xvy+u)\mathbb{R}^{2\times 2}\to \mathbb{R}^2,\; \left(\begin{array}{cc}x&y\\u&v\end{array}\right)\mapsto \left(\begin{array}{c}x-v\\y+u\end{array}\right) ist linear und ihr Kern ist AA.

Daher ist AA ein Untervektorraum der Algebra R2×2\mathbb{R}^{2\times 2}.

Sei M(x,y)=(xyyx)M(x,y)=\left(\begin{array}{cc}x&y\\-y&x\end{array}\right).

Dann gilt

M(u,v)M(x,y)=M(uxvy,vx+uy)=M(u,v)\cdot M(x,y)=M(ux-vy,vx+uy)=

=M(xuyv,xv+uy)=M(x,y)M(u,v)=M(xu-yv,xv+uy)=M(x,y)\cdot M(u,v).

AA ist also multiplikativ abgeschlossen und die Multiplikation ist kommutativ.

Ferner ist M(x,y)M(x,y) genau dann invertierbar, wenn

det(M(x,y))=x2+y20\det(M(x,y))=x^2+y^2\neq 0, d.h. M(x,y)0M(x,y)\neq 0.

Alle Assoziativgesetze, Distributivgesetze werden vererbt.

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