Da musst du einfach alle Körperaxiome prüfen.
Für manche ist es ganz einfach z.B.
Kommutativität der Addition:
zu prüfen ist, ob für alle a,b,c,d aus Q gilt (a + b√3)+(c + d√3 )=(c + d√3)+(a + b√3)
Ich denke, da kann man einfach sagen, ist erfüllt, da IR (darin wird ja gerechnet) ein Körper ist.
Genauso bei Kommutativität und Assoziativität von "mal"
Neutrales Element bei plus ist 0 + 0√3 und bei mal 1 + 0√3
invers zu c + d√3 bzgl + ist -c + -d√3 und mit c,d aus Q sind ja auch -c und -d aus Q
und bezüglich mal braucht man x,y aus Q mit (c + d√3) * (x + y√3) = 1
also
(x + y√3) = 1 / (c + d√3) mit (c - d√3) erweitern gibt
= (c - d√3) / ((c + d√3)(c - d√3))
= (c - d√3) / (c^2 - 3d^2)
also x = c/(c^2 - 3d^2) und y= -d/(c^2 - 3d^2)
Und x und y sind aus Q, da c und d aus Q sind und der Nenner ist nicht Null, da (c^2 - 3d^2)=0
in Q nur gilt, wenn c und d beide Null sind, aber das ist der Fall c + d√3=0 und das ist das Nullelement
dieses Körpers und das braucht ja kein Inverses bzgl mal zu haben
