Beweis, dass folgende Menge von 2x2-Matrizen einen Körper bildet K = {(a,b),(-b,a)) €R^{2x2} |a,b€R}

Question

 Stehe bei dieser Aufgabe leider total auf dem Schlauch... Brauche Hilfe

Comments

1. Schritt könnte sein: Ringaxiome heraussuchen und aufschreiben und nummerieren.

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(R, +) ist eine Gruppe(R, *) ist eine HalbgruppeDistributivität

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EDIT: Das ist somit schon bekannt: 

1. (R, +) ist eine Gruppe

2. (R, *) ist eine Halbgruppe

3. Distributivität 

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Wie macht man das stehe echt auf dem Schlauch

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Dass R eine Ring ist, ist aber eigentlich doch schon gegeben oder

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Ja genau. Das musst du also gar nicht zeigen. Was fehlt dann noch zu einem Körper?

Das rechnest du dann mit den gegebenen Definitionen nach.

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Kommutativität

K ohne die Null, * bildet eine Gruppe

Wie beweist man das?

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Kommutativität der Addition oder Multiplikation?

Berechne ((a b)(-b a)) + ( (c d)(-d c))

und  (c d)(-d c)) + ((a b)(-b a)) 

oder

Berechne ((a b)(-b a)) * ((c d)(-d c))

und  ((c d)(-d c)) * ((a b)(-b a))

und vergleiche die Resultate.

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Soll man das also anhand von Beispielen beweisen?

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Ich würde gleich mit den angegebenen Buchstaben arbeiten und erst mal abklären, ob ich das für + oder * machen muss.

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Komme immer noch nicht weiter Könntest du mir das vielleicht mal vorrechnen?

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Ja bitte brauche diese aufgabe auch

Answer 1

Eine Teilmenge K⊆L ist genau dann ein Teilkörper von L wenn sie 0 und 1 enthält und bezüglich der Addition, Multiplikation, Negation und Kehrwertbildung abgeschlossen ist. 

Comments

Von welchem L sollte denn hier wohl die Rede sein?

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Habe mir die Aufgabenstellung noch mal angeguckt... Habe leider keine Bearbeitungszeit mehr... Es ist folgenderweise:

Wir haben dass ℝ^2x2 ein Ring mit Eins ist. Ein Unterring besteht aus einer Teilmenge K⊂ℝ^2x2 sodass folgendes gilt: 

$$ \star \ \ a,b\in K \Rightarrow a-b , a\cdot b\in K \\  \star \ \ 1\in K$$ 

Wenn wir gezeigt haben dass K ein Unterring ist, müssen wir noch zeigen dass alle Elemente von K die nicht gleich 0 sind ein Inverses haben. Dann haben wir dass K ein Körper ist.