Unendlich oft differenzierbar

Question

Aufgabe: Wie zeigt man dass eine Funktion unendlich oft differenzierbar ist

Problem/Ansatz: Meine Idee wäre die k-te Ableitung per Induktion zu beweisen, aber wir sollen für x/(x+1) mit (-1,unendlich) es zeigen und dann noch zusätzlich das sie unendlich oft differenzierbar ist. Das ist was mich verwirrt.

Answer 1

f(x) = x / (x + 1) = (x + 1 - 1) / (x + 1) = 1 - 1/(x + 1) = 1 - (x + 1)^(-1)

f'(x) = (x + 1)^(-2)

f''(x) = -2·(x + 1)^(-3)

f'''(x) = 6·(x + 1)^(-4)

...

f^{(k)} = -(-1)^k·k!·(x + 1)^(-k - 1)

Comments

Ja das hatte ich schon, aber wir sollen zeigen das sie unendlich oft differenzierbsr ist und dann die k-te Abbildung zeigen per Induktion, ist es dann nicht so, dass man nur den zweiten Teil der Aufgabe macht

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Ja. Wenn du einen Ausdruck für die k. Ableitung bildest, ist damit ja automatisch gezeigt, dass der Ausdruck unendlich oft differenzierbar ist.