Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion $$f : \mathbb { R } \rightarrow \mathbb { R } , f ( x ) : = \left\{ \begin{array} { l l } { e ^ { - \frac { 1 } { x } } , } & { \text { für } x > 0 } \\ { 0 , } & { \text { für } x \leq 0 } \end{array} \right.$$
Zu zeigen ist nun, dass f unendlich oft differenzierbar ist.
Problem/Ansatz:
Meine Idee ist es, das über einen Induktionsbeweis zu machen. Ich habe die Funktion dreimal abgeleitet mit folgendem Ergebnis:
f(1) = e(-1/x) / x2
f(2) = e(-1/x) * ( (1 - 2x) / (x4) )
f(3) = e(-1/x) * ( (6x2 - 6x + 1) / (x6) )
Die n-te Ableitung hat also die Form:
f(n) = e(-1/x) * ( Pn-1(x) / x2n )
Wobei Pn-1 ein Polynom mit Grad n-1 ist.
Mir fehlt jetzt allerdings der Ansatz, wie ich die Induktion durchführe. Könnte mir da bitte jemand auf die Sprünge helfen?
