Zeigen Sie, dass Sn isomorph ist zu An ×θ ℤ/2ℤ für einen geeigneten Gruppenhomomorphismus θ: ℤ/2ℤ → Aut(An).

Question

Aufgabe:

Sei n ∈ ℕ mit n ≥ 2. Zeigen Sie, dass S_n isomorph ist zu A_n ×θ ℤ/2ℤ für einen geeigneten Gruppenhomomorphismus θ: ℤ/2ℤ → Aut(A_n). Wobei ×_θ für semidirekte Produkt stehen soll (Habe das Symbol hier nicht gefunden).

Problem/Ansatz:

Ich soll in S_n die Untergruppe, die von der Transposition (12) erzeugt wird, betrachten. Weiß aber nicht inwiefern mir das weiter helfen soll. Verzweifel echt an der Aufgabe. Hoffe ihr könnt mir helfen.

Answer 1

Tipp: Versuche es mal mit \(\theta:Z/2Z\to Aut(A_n)\), wobei

\(\theta(0)=id_{A_n}\) ist und

\(\theta(1)(\sigma)=(1\; 2)\circ \sigma\circ (1\; 2)^{-1}\) ist für alle \(\sigma\in A_n\),

also der innere Automorphismus von \(S_n\), der durch Konjugation mit

\((1\; 2)\) entsteht, eingeschränkt auf \(A_n\).