Warum ist Sym(2) → ℤ/2ℤ ein Isomorphismus aber Sym(3) → ℤ/6ℤ nicht?

Question

Aufgabe:

Warum ist Sym(2) → ℤ/2ℤ ein Isomorphismus aber Sym(3) → ℤ/6ℤ nicht?

Problem/Ansatz:

Hi, ich verstehe das nicht so ganz. Außerdem heißt es im Skript, dass Sym(3) nicht abelsch ist, ich sehe da aber keinen Zusammenhang zu Isomorphismen.

Vielen Dank

Comments

Was ist denn Sym(2)? und wie wird es auf ℤ/2ℤ abgebildet?

lul

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Sym(n) ist die Symmetrische Gruppe, sprich die Menge aller Permutationen.

Wie es auf Z/2Z abgebildet wird nicht näher erläutert. Allgemein ist ein Homomorphismus zwischen Gruppen G und H eine Abbildung φ: G → H mit für alle g1, g2 ∈ G: (g1 ° g2)φ = (g1φ)°(g2φ).

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...wie wird es auf ℤ/2ℤ abgebildet?

Das ist hier doch völlig egal. Alle Gruppen mit genau zwei Elementen sind zueinander isomorph.

Answer 1

Ich tippe mal Sym(2) die Gruppe der Permutationen einer 2-elemnetigen Menge.

Hat 2 Elemente :   id und das Tauschen der 2 Elemente τ_1,2 . Verknüpfung

ist hier wohl die Hintereinanderausführung .

ℤ/2ℤ hat auch 2 Elemente 0 und 1 bzw. die Restklassen dazu . Verknüpfung Addition.

Dann ist die Abbildung F: ( Sym(2),o) → (ℤ/2ℤ , +) mit

                 F(id)=0  und F(τ_1,2 ) ein Isomorphismus.

Alle Eigenschaften eines Isom. sind erfüllt.

Bei ( Sym(3),o) → (ℤ/6ℤ , +) gibt es keinen Isomorphismus F

denn es müsste ja gelten F(τ_1,2 o τ_2,3 ) =  F(τ_1,2) + F(τ_2,3 ).

Und da passt der Hinweis mit dem kommutativen doch gut.

Es ist τ_1,2 o τ_2,3 ≠τ_2,3 o τ_1,2  aber auf der rechten Seite der

Gleichung ist es kommutativ, also kann das nicht stimmen;

denn der Isomorphismus müsste ja injektiv sein.

Also kann man allgemein merken: Eine kommutative

und eine nicht-kommutative Gruppe können nicht

isomorph sein.