Welchen Schnittpunkt haben die Tangenten an den Graphen der e-Funktion mit der Y-Achse?

Question

Aufgabe:

Welchen Schnittpunkt haben die Tangenten an den Graphen der e-Funktion mit der Y-Achse? Stellen Sie eine Vermutung auf und beweisen Sie diese.

Ansatz/Lösung:

\( \begin{array}{l}a \cdot e^{b x+c}+d=f^{\prime}(x) \cdot x+n \mid-\left(f^{\prime}(x) \cdot x\right) \\ a \cdot e^{b x+c}+d-\left(f^{\prime}(x) \cdot x\right)=n \\ a \cdot e^{b x+c}+d-\left(a \cdot e^{b x+c} \cdot b \cdot x\right)=n\end{array} \)

Kann mir jemand sagen, ob meine Lösung richtig ist und wenn nein, was ich falsch gemacht habe?

Comments

Wenn du die Aufgabe vervollständigen würdest, müssten wir nicht so viel raten:

- Was ist \(f\) ?

- Tangente an welchem Punkt ?

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f ist die "allgemeine" natürliche Exponentialfunktion, also praktisch die Funktion, die auf der linken Seite der Gleichung steht. Ansonsten soll die Tangente nicht an einem beliebigen Punkt aufgestellt werden, sie soll eher verallgemeinert werden, also für jeden x-Wert gelten.

Answer 1

Hm,

f(x)=e^x

Tangente im Punkt (t,f(t))

g(t):=f'(t)(x-t )+f(t)

\(g(t) \, :=  \, \textit{e}^{t} + \textit{e}^{t} \; \left(-t + x \right)\)

Tangente

h_t(x)=ℯ^t + ℯ^t (-t + x)

Schnittpunkt y-Achse

h_t(0)

===> \(s(t) \, :=  \, \textit{e}^{t} - t \; \textit{e}^{t}\)

===> T=(0,s(t))

Answer 2

Tangente an der Stelle z

t(x) = a·e^(b·z + c)·(b·x - b·z + 1) + d

t(0) = a·e^(b·z + c)·(1 - b·z) + d

Genau das, was ich vermutet habe. Absoluter Murks.

Es gibt also nicht "den Schnittpunkt" den alle Tangenten haben.

Answer 3

Hallo,

Willkommen in der Mathelounge!

Welchen Schnittpunkt haben die Tangenten an den Graphen der e-Funktion mit der Y-Achse?

kann es sein, dass nicht die Y- sondern die X-Achse gemeint ist? Und lassen wir mal den Parameter \(d\) weg, der ja nur das Ganze in der Höhe verschiebt. Dann bekommt man doch folgendes für eine Tangente \(t_{x_0}\) an der Stelle von \(x_0\) von \(f\):$$f(x)= a e^{bx+c}\\ f'(x)= ab e^{bx+c}\\ \begin{aligned} t_{x_0}: \quad y&=f'(x_0)(x-x_0) + f(x_0) \\ y&= ab e^{bx_0+c}(x-x_0) + a e^{bx_0+c} \to 0\\ x &= x_0 - \frac{a e^{bx_0+c}}{ab e^{bx_0+c}} \\&= x_0 - \frac{1}{b} \\ \end{aligned}$$wobei noch zu bemerken wäre, dass "die e-Funktion" letztlich nur für \(a=b=1\) und \(c=0\) gilt. Als Graph sähe das so aus:

Verschiebe zunächst nur den Punkt \(a=\dots\) auf der Y-Achse, so siehst Du, dass sich die Nullstelle der Tangente nicht verändert.

Gruß Werner

Comments

Es ist tatsächlich die Y-Achse gemeint. Nach einer Google-Suche fand ich nur Aufgaben, in denen die X-Achse vorkam.

wobei noch zu bemerken wäre, dass "die e-Funktion" letztlich nur für \(a=b=1\) und \(c=0\) gilt.

Warum, wenn ich fragen darf?

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Warum, wenn ich fragen darf?

Warum nicht? Die e-Funktion ist $$f(x)=e^{x}$$sonst nichts.

Zitat aus Wikipedia:

Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion \(x\mapsto e^x\)

Dann siehe die Antwort von wächter.

Nach einer Google-Suche fand ich nur Aufgaben, in denen die X-Achse vorkam.

das ist doch kein Argument! Lässt Du google-mokratisch abstimmen, ab zu verifizieren, ob die Aufgabenstellung die 'richtige' ist?

Wie konnst Du denn auf die Aufgabe?

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Als natürliche Exponentialfunktion oder e-Funktion bezeichnet man die Exponentialfunktion \(x\mapsto e^x\)

Vielen Dank für die Klarstellung.

das ist doch kein Argument! Lässt Du google-mokratisch abstimmen, ab zu verifizieren, ob die Aufgabenstellung die 'richtige' ist?
Wie konnst Du denn auf die Aufgabe?

Die Aufgabe bekam ich im Unterricht, wo wir in Gruppenarbeit die Aufgabe lösen mussten.