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Aufgaben:

In welchen Punkten \( P\left(x_{0} | f\left(x_{0}\right)\right) \) und \( Q\left(x_{0} | g\left(x_{0}\right)\right) \) haben die Graphen von \( f \) und \( g \) parallele Tangenten?

a) \( f(x)=e^{x} \quad ; \quad g(x)=x \)

b) \( f(x)=-2 e^{x} \quad ; \quad g(x)=-4 x \)

c) \( f(x)=\sqrt{e} · x \quad ; \quad g(x)=e^{x}-2 \)

d) \( f(x)=e^{x}+3 \quad ; \quad g(x)=\frac{e}{2} · x^2 \)


Natürlich weiss ich, wie man parallele Tangenten rechnet. Man muss mit erste Ableitung mit f'(x)=g'(x) rechnen.  Kann jemand mir helfen, da ich nur bei ganzrationale Funktion rechnen kann. Und hier bei dieser Aufgabe habe ich keine Ahnung wie ich zu den Ergebnis komme und das ist ganz neu für mich.

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Das Wesentliche hast Du ja schon verinnerlicht:

"Man muss mit erste Ableitung mit f'(x)=g'(x) rechnen."

a)

f(x) = ex | f'(x) = ex

g(x) = x | g'(x) = 1

An welcher Stelle ist ex = 1?

An x0 = 0, denn e0 = 1

b)

f(x) = -2*ex | f'(x) = -2 * ex

g(x) = -4x | g'(x) = -4

-2 * ex = -4

ex = 2

x0 = ln(2)

c)

f(x) = √e * x | f'(x) = √e

g(x) = ex - 2 | g'(x) = ex

ex = √e = e1/2

x0 = 1/2

d)

f(x) = ex + 3 | f'(x) = ex

g(x) = e/2 * x2 | g'(x) = e * x

ex = e * x | :e

ex-1 = x

x - 1 = ln (x)

x0 = 1

Avatar von 32 k

Ich versteh mit der Aufgabe a) nicht ganz :-( .. 

Das Ergebnis wäre x0 = 1 ? 

--

Es ist auch bei der Aufgabe d) schwer zu verstehen ..

Hi, 

gesucht sind in den Aufgaben ja parallele Tangenten, also Tangenten mit gleichem Anstieg. 

 

Deshalb wurden in der Aufgabe a) die 1. Ableitungen von f(x) und von g(x) gebildet. 

Gesucht ist also die Stelle x0, an der diese beiden Ableitungen den gleichen Wert haben. Deshalb wurde gleichgesetzt: 

f'(x) = ex = g'(x) = 1

An welcher Stelle x0 ist ex = 1?

An der Stelle x0 = 0, denn e0 = 1.

 

In Aufgabe d) wurde genauso verfahren: 

ex = e * x

Beide Seiten durch e dividiert ergibt

e/ e = e * x / e

ex-1 = x

Nun auf beiden Seiten logarithmiert: 

x - 1 = ln (x)

Und jetzt muss man also herausfinden, an welcher Stelle x0 gilt

x0 - 1 = ln (x0)

Und das gilt eben an der Stelle x0 = 1, weil

1 - 1 = 0

und 

ln (1) = 0

Ihr habt wohl überlesen, dass ebenfalls Punkte angegeben werden müssen. Beispielsweise währen das bei der Aufgabe 2 unendlich Q Punkte. Wie beweist man das Mathematisch?

Ich bin zwar kein Matheass, aber ich denke ihr löst die d) falsch.

f(x) = e+ 3 wird zu f'(x) = ex

g(x) = e • x wird zu g'(x) = e

f'(x) = g'(x) dh.

ex = e | ln()

x = ln(e)

x = 1

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