Das Horn vom Gabriel

Question

Aufgabe:

Wenn man den Graphen der Funktion f(x)=1/x , x=> 0 um die x-Achse rotieren lässt entsteht ein Horn.

a) Berechne das Volumen des Horns. D.h. zunächst des endlichen Rotationskörpers für f(x)=1/x , 1 <=x <= R. Führen Sie dann den Grenzübergang für n -> unendlich durch.

b) Zeigen Sie durch das Abschätzen des Integranden, dass seine Mantelfläche unendlich groß ist

c) Wie erklären Sie das scheinbare Paradoxon, dass wenige Liter Farbe ausreichen um das Horn zu füllen und dabei gleichzeitig eine unendliche Fläche gefärbt wird?

Problem/Ansatz:

Bei der a muss ich das Integral bilden

$$\int_1^R 1/x \; dx$$

oder?

Comments

Okay das war Quatsch nochmal neu

$$V= \pi * \int_1^R (f(x))^2 dx = \pi *\int_1^R 1/x^2 = \pi* [-1/x]_1^R = \pi*(-1/R+1)$$

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guckst Du hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Gabriels_Horn

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Welches \(n\) soll denn gegen \(\infty\) gehen?

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Welches n soll gegen unendlich gehen gute Frage.

Da ist ja kein n angegeben

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Da ist ja kein n angegeben

Ja genau! Das ist das Problem. Weil die Aufgabe verlangt (s.o.):

Führen Sie dann den Grenzübergang für n -> unendlich durch.

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Statt R dann n einsetzen?

Answer 1

Nach deiner Korrektur ist es richtig

∫ (1 bis R) f(x) dx = pi·(1 - 1/R) < pi

Das Volumen hat also als obere Schranke von pi VE.

Comments

Ich danke dir!