Das Lebesgue-Stieltjes Mass, gegeben eine rechtseitig stetige, monoton wachsende Funktion \( F\), ist definiert durch
\(\begin{aligned} \lambda _{ F} ( A) = \inf_{ } \left\{ \sum_{ k = 1}^{ \infty } \lambda _{ F} (a, b ]\ \middle|\ A\subset \bigcup_{ k = 1}^{ \infty} ( a_{ k} , b_{ k} ] \right\} .\end{aligned}\)
Sei nun \( A\subset \mathbf{R}\) beliebig. Wegen der Monotonie gilt
\(\begin{aligned} \lambda _{ F} ( A) \leqslant \inf_{ A\subset U, \: U \text{ offen}} \lambda _{ F} ( U) .\end{aligned}\)
Sei nun \( \varepsilon > 0\) beliebig und \((a_{ 1} , b_{ 1} ], \ldots , ( a_{ n} , b_{ n} ] \) sodass
\(\begin{aligned} \sum_{ k = 1}^{ \infty } \lambda _{ F} ( (a_{ k} , b_{ k}] ) - \lambda _{ F} ( A) < \varepsilon .\end{aligned}\)
Nun betrachten wir \( U = \bigcup_{ k = 1}^{ \infty} \left( a_{ k} , b_{ k} + \varepsilon / 2^{ n} \right)\) und es gilt
\(\begin{aligned} \lambda _{ F} ( U) - \lambda _{ F} ( A) &\leqslant \sum_{ k = 1}^{ \infty } \lambda _{ F} \left( \left( a_{ k} , b_{ k} + \frac{ \varepsilon }{ 2^{ n}} \right)\right)- \lambda _{ F} ( A) \\ &= \sum_{ k = 1}^{ \infty } \lambda _{ F} ( ( a_{ k} , b_{ k} ] ) - \lambda _{ F} ( A) + \varepsilon < 2 \varepsilon .\end{aligned}\)
