kompakte Menge, offene Menge, Lebesgue-Maß

Question

Folgende Aufgabe:

Zeigen Sie:

a) Für jede kompakte Menge K ⊂ ℝⁿ gilt: λ_n(K) < ∞

b) Für jede offene Menge U ⊂ ℝⁿ gilt: λ_n(U) > 0

Meine Idee:

Ich glaube nicht, dass es was standfestes ist, aber weiter komme ich nicht, also:

a) Nach Def ist K kompakt, also existiert eine endliche Überdeckung  U_i von K, sd \( K⊂  \bigcup_{i_1,...,i_N \ \in \ I} (U_i)_j \) . Ich dachte jetzt, da die Überdeckung endlich ist und K nach Def sowieso beschränkt, wäre λ(K) auf jeden Fall kleiner ∞. Das ist aber wahrscheinlich nicht ganz richtig.

b) U ist nach Def offen und enthält nur innere Punkte. also gibt es für jeden inneren Punkt x in U eine Umgebung, um den Punkt x, sodass der Punkt drin liegt. Das heißt ja auch, dass die Menge nicht leer ist und λ(U) >0 ist.

Kann mir hier jemand weiterhelfen bitte ?

Comments

Also ich hab jetzt noch etwas nachgedacht und die b) scheint mir so schlüssig ? Außer ich übersehe etwas.

Die a) kann so eher nicht stimmen, aber ich weiß auch nicht recht wie ich daran gehen soll

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oh Moment, kann ich bei der a) nicht eine ähnliche Argumentation benutzen ?

Da K Teilmenge von einer endlichen Menge offener Überdeckung ist, gibt es in jeder Überdeckung einen inneren Punkt, um den man einen Ball mit Radius ε>0 legen kann. Das heißt ja dann dass K nicht leer aber auf jeden Fall endlich ist und damit das Maß <∞ ?

Oder ist das sowohl falsch als auch zu weit hergeholt ?

Answer 1

Ich glaub wir haben die gleiche Aufgabe :D und sind vermutlich im gleichen Kurs.

Aufgabe A habe ich genauso gelöst wie du im 3. Post

. Bei der B habe ich noch keinen Plan

Comments

Das kann sehr gut sein :D

Ich rate da auch einfach etwas rum, weil ich keine Ahnung habe. Soweit ich das verstanden habe sollten aber beide Beweise eher ziemlich kurz sein.

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Wie kommst du mit dem Modul bisher so klar? Ich hab hier und da noch meine Probleme und würde mich nicht gegen zusätzliche Arbeitspartner wehren :)

Also der Beweis zur a ist bei mir recht kurz, aber ausführlich notiert um keine punkte abgezogen zu bekommen.

Bei der b fehlt der Hinweis, dass U nicht die leere Menge sein kann, ich hatte meinen  Übungsleiter gefragt und der hat zugegegben, dass es sonst nicht lösbar ist

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Geht so mit dem Modul. Entweder bin ich zu sehr aus Analysis raus oder ich hab ein generelles Verständnisproblem. Ich denke auch oft dran vorbei oder zu kompliziert. Ärgert mich immer super.

Ich bin leider nicht so oft in der Uni, sorry :) Sonst gerne hier oder falls du dich auf Jodel rumtreibst, da gibt es auch einige die das machen.

Hab bei der a) auch nur 3 Zeilen. Ich weiß nicht was mein Übungsleiter da alles stehen haben will. Der korrigiert EXTREM pingelig und rechnet auch nicht die Musterlösung sondern dann sein Zeug vor, was mir auch sehr umständlich erscheint.

Das mit der leeren Menge hab ich nicht gebraucht/gar nicht benutzt bzw. das hätte mich auch nicht sehr viel weiter gebracht :D

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Geht mir manchmal ähnlich mit dem Verdtändnis. Die Aufgaben auf diesem Blatt sind für mich aber alle "klar" nur komme ich auf keine vernünftigen Beweise.

Ich bin selbst selten in der Uni,  in welcher Gruppe bist du denn?

Ich treibe mich tatsächlich viel auf jodel herum, meistens aber bei mir in Bonn und nicht in Köln.

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Hab nur die ersten zwei Aufgaben gemacht. Die dritte Aufgabe hab ich mal durchgelesen, aber keinen Plan gehabt um da was zusammenzubasteln. Letzte Woche hatte ich zb gar keinen Plan und nicht abgegeben.

Ich bin montags in der Übung. Du ?

Ah ja siehst du! Wenn du im UniKöln channel guckst, dann sind da viele Beiträge dazu. Ich habe zwar den Verdacht dass es immer dieselben Leute sind aber ist ja egal.

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Boah bei mir genauso, letzte woche nur die 1. Aufgabe abgegeben und jz schon wieder nur eine.

Bin Dienstags um 14 Uhr

Okay danke, dann schaue ich dort mal vorbei. Kann man hier PNs schicken? Wäre vielleicht nicht verkehrt sich gelegentlich zu den Aufgaben auszutauschen.

Oder hast du sowas wie Kik, wenn du eh oft auf Jodel bist? :D

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Hatte letzte Woche auch nur eine Aufgabe gemacht und da war ich mir nicht mal sicher ob da überhaupt was richtig war und hab sie dann nicht abgegeben. Erste Blatt ist auch nicht so gut ausgefallen, aber da meinte er dass es allgemein eher schlecht in der Gruppe war.

Ich glaube hier kann man keine PNs schicken, aber in anderen Foren geht das.

Sonst gibt es immer noch diese Frage und dann kann man notfalls hier etwas schreiben.

Haha nein! Ich hatte mal kik und hab es dann guten Gewissens vor sehr vielen Monaten gelöscht :D Hab noch andere social media Sachen, aber da steht überall mein voller Name.

Twitter wäre noch ne Option. Da würde ich mir dann nen zusätzlichen Account machen

Answer 2

Hallo,

zu b). Sei \( \emptyset \neq U \subset \mathbb{R}^n \) offen. Dann ist zunächst klarerweise \( U \in \mathcal{B}(\mathbb{R}^n) \). Sei nun \( x = (x_1, \dots,x_n)^t \in U \) beliebig. Da \( U \) offen existiert ein \( r > 0 \), sodass \( B(x,r) \subset U \). Wegen \( \prod \limits_{i=1}^{n} [x_i - \frac{r}{2\sqrt{n}}, \,x_i + \frac{r}{2\sqrt{n}}) \subset B(x,r) \subset U \) folgt mit der Monotonie des Maßes

\( \lambda^n(U) \geq \lambda^n \left( \prod \limits_{i=1}^{n} [x_i - \frac{r}{2\sqrt{n}}, \,x_i + \frac{r}{2\sqrt{n}}) \right) = \frac{r^n}{n^{\frac{n}{2}}} > 0 \)