Wieviele Lösungen für s^3+d^2=e^2 gibt es in IN, wenn s das Produkt von 2 verschiedenen Primzahlen ist?

Question

s= produkt von zwei verschiedenen primzahlen

d=eine positive ganze zahl

e=eine positive ganze zahl

wie viele paare von lösungen (d, e) gibt es?

s^3+d^2=e^2

Answer 1

Seien p1 und p2 die Primfaktoren von s und p1<p2

s^3+d^2=e^2

s^3 = e^2 - d^2 = (e-d)(e+d)                          e>d>0

s^3 = p1^3*p2^3

Jetzt könnte eventuell

e-d = p1^3 sein und

e+d = p2^3

----------------

2e = p1^3 + p2^3

e= (p1^3 + p2^3)/2          ist nur ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2

d=(p2^3 - p1^3)/2

Alternativ könnte auch

 

e-d = p1^2 sein und 

e+d = p1*p2^3

---------------------------

2e = p1^2 + p1*p2^3

e= (p1^2 + p1*p2^3)/2          ist nur ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2

d=(p1*p2^3 - p1^2)/2

 

Alternativ könnte zudem

e-d = p1 sein und 

e+d = p1^2*p2^3

---------------------------

2e = p1 + p1^2*p2^3

e= (p1^2 + p1*p2^3)/2          ist nur ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2

d=(p1^2*p2^3 - p1)/2

 

 

Weitere Alternativen sind möglich, sicher noch

weiterhin nur dann ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2

e-d = p2  

e+d = p1^3*p2^2

 

und

 

e-d = p2*p1 

e+d = p1^2*p2^2

 

 

sowie

e-d = 1 

e+d = p1^3*p2^3

 

Fazit: Es gibt sicher 6 Lösungen, wenn p1 und p2 ungerade sind. Vielleicht auch noch mehr.

ab hier ist die Geschichte von den Zahlenwerten von p1 und p2 abhängig

Bsp:

e-d = p2^2 sein und 

e+d = p1^3*p2

wichtig wäre einfach, dass p2^2 < p1^3 * p2 gilt, damit d nicht negativ wird.

 

Anmerkung: Der Fall, dass einer der Primfaktoren 2 ist, müsste noch separat betrachtet werden. in diesem Fall muss aber die 2 sowohl als Faktor von e-d als auch von e+d vorkommen.

Comments

Achtung: Es gab hier noch ein Update. Zum Fall dass ein gerader Primfaktor dabei ist: vgl. Julian Mis Antwort.

Answer 2

Stellt man die Gleichung um nach

s³ = e²-d²

Und verwendet, dass e und d gerade Zahlen sein sollen (also e=2k, d = 2j)

Erhält man:

s³ = 4*(k²-j²)

Mit anderen Worten muss auf der linken Seite auch eine gerade Zahl stehen, das geht aber nur, wenn eine der beiden Primzahlen aus denen s besteht die 2 ist.

Die Gleichung wird also zu

2³*p³ = 4*(k²-j²)  |:4

2 * p³ = k²-j²   (*)

Betrachte jetzt die Quadratzahlen:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Offenbar ist die Differenz von zwei Quadratzahlen nur dann gerade, wenn entweder beide Basen gerade oder beide Basen ungerade waren. Das heißt für (*): k und j sind entweder beide gerade oder beide ungerade, sonst gibt es keine Lösung.

 

Nun gilt aber für die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader Quadratzahlen:

(2n+1)²-(2n-1)² = 4n²+4n+1-(4n²-4n+1) = 8n

Diese Differenz ist also immer ein ganzzahliges Vielfaches von 8, also ist auch die Differenz beliebiger ungerade Quadratzahlen ein ganzzahliges Vielfaches von 8.

Daraus folgt, dass es für die Gleichung (*) keine Lösung mit ungeraden k und j gibt, denn dann wäre die rechte Seite schreibbar als 8n und es gälte:

2p³ = 8n
p³ = 4n

Also wäre p eine gerade Zahl - die einzige gerade Primzahl ist aber p=2. Dann sind die beiden Primzahlen aber nicht mehr verschieden. (Lässt man diese Forderung kurz fallen, ergibt sich die Lösung:

s = 4, d = 6, e=10: 4³+6² = 64+36 = 100 = 10², aber wie gesagt müssen die Primzahlen ja unterschiedlich sein.)

Das einzige was übrig bleibt ist also, das k und j gerade Zahlen sind.

Für die Differenz zweier aufeinanderfolgender gerade Quadratzahlen gilt aber:

(2n+2)²-(2n)² = 4n²+8n+4-4n² = 8n+4 = 4*(2n+1)

Sie ist also ein ungeradzahliges Vielfaches von 4. Die Differenz zweier beliebiger gerade Quadratzahlen ist also zumindest noch ganzzahliges Vielfaches von 4. Damit folgt:

2p³ = 4n

p³ = 2n

Auch hier existiert also keine Lösung mehr, falls p nicht 2 ist. (Lässt man diese Forderung wieder fallen, erhält man noch die Lösung: s=4, d=0, e=8 falls man 0 als positive ganze Zahl durchgehen lässt)

 

Es existieren mit den gegebenen Forderungen also gar keine Lösungen!

Comments

Oh, ich habe gerade ganz und gerade verwechselt :-)

Der Beitrag zeigt also nur, dass es keine gerade Lösungen gibt. Ich denke nochmal über die ungerade nach.

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Ja, dankeschön, wäre sehr hilfreich!