0 Daumen
122 Aufrufe
s= produkt von zwei verschiedenen primzahlen

d=eine positive ganze zahl

e=eine positive ganze zahl

wie viele paare von lösungen (d, e) gibt es?

s^3+d^2=e^2
Gefragt von

2 Antworten

0 Daumen
 
Beste Antwort

Seien p1 und p2 die Primfaktoren von s und p1<p2

s^3+d^2=e^2

s^3 = e^2 - d^2 = (e-d)(e+d)                          e>d>0

s^3 = p1^3*p2^3

Jetzt könnte eventuell

e-d = p1^3 sein und

e+d = p2^3

----------------

2e = p1^3 + p2^3

e= (p1^3 + p2^3)/2          ist nur ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2

d=(p2^3 - p1^3)/2

Alternativ könnte auch

 

e-d = p1^2 sein und 

e+d = p1*p2^3

---------------------------

2e = p1^2 + p1*p2^3

e= (p1^2 + p1*p2^3)/2          ist nur ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2

d=(p1*p2^3 - p1^2)/2

 

Alternativ könnte zudem

e-d = p1 sein und 

e+d = p1^2*p2^3

---------------------------

2e = p1 + p1^2*p2^3

e= (p1^2 + p1*p2^3)/2          ist nur ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2

d=(p1^2*p2^3 - p1)/2

 

 

Weitere Alternativen sind möglich, sicher noch

weiterhin nur dann ganzzahlig, wenn beide Primfaktoren ≠ 2


e-d = p2  

e+d = p1^3*p2^2

 

und

 

e-d = p2*p1 

e+d = p1^2*p2^2

 

 

sowie

e-d = 1 

e+d = p1^3*p2^3

 

Fazit: Es gibt sicher 6 Lösungen, wenn p1 und p2 ungerade sind. Vielleicht auch noch mehr.

ab hier ist die Geschichte von den Zahlenwerten von p1 und p2 abhängig

Bsp:

e-d = p2^2 sein und 

e+d = p1^3*p2

wichtig wäre einfach, dass p2^2 < p1^3 * p2 gilt, damit d nicht negativ wird.

 

Anmerkung: Der Fall, dass einer der Primfaktoren 2 ist, müsste noch separat betrachtet werden. in diesem Fall muss aber die 2 sowohl als Faktor von e-d als auch von e+d vorkommen.

Beantwortet von 142 k
Achtung: Es gab hier noch ein Update. Zum Fall dass ein gerader Primfaktor dabei ist: vgl. Julian Mis Antwort.
0 Daumen

Stellt man die Gleichung um nach

s³ = e²-d²

Und verwendet, dass e und d gerade Zahlen sein sollen (also e=2k, d = 2j)

Erhält man:

s³ = 4*(k²-j²)

Mit anderen Worten muss auf der linken Seite auch eine gerade Zahl stehen, das geht aber nur, wenn eine der beiden Primzahlen aus denen s besteht die 2 ist.

Die Gleichung wird also zu

23*p3 = 4*(k²-j²)  |:4

2 * p3 = k²-j²   (*)

Betrachte jetzt die Quadratzahlen:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, ...

Offenbar ist die Differenz von zwei Quadratzahlen nur dann gerade, wenn entweder beide Basen gerade oder beide Basen ungerade waren. Das heißt für (*): k und j sind entweder beide gerade oder beide ungerade, sonst gibt es keine Lösung.

 

Nun gilt aber für die Differenz zweier aufeinanderfolgender ungerader Quadratzahlen:

(2n+1)²-(2n-1)² = 4n²+4n+1-(4n²-4n+1) = 8n

Diese Differenz ist also immer ein ganzzahliges Vielfaches von 8, also ist auch die Differenz beliebiger ungerade Quadratzahlen ein ganzzahliges Vielfaches von 8.

Daraus folgt, dass es für die Gleichung (*) keine Lösung mit ungeraden k und j gibt, denn dann wäre die rechte Seite schreibbar als 8n und es gälte:

2p³ = 8n
p³ = 4n

Also wäre p eine gerade Zahl - die einzige gerade Primzahl ist aber p=2. Dann sind die beiden Primzahlen aber nicht mehr verschieden. (Lässt man diese Forderung kurz fallen, ergibt sich die Lösung:

s = 4, d = 6, e=10: 4³+6² = 64+36 = 100 = 10², aber wie gesagt müssen die Primzahlen ja unterschiedlich sein.)

Das einzige was übrig bleibt ist also, das k und j gerade Zahlen sind.

Für die Differenz zweier aufeinanderfolgender gerade Quadratzahlen gilt aber:

(2n+2)²-(2n)² = 4n²+8n+4-4n² = 8n+4 = 4*(2n+1)

Sie ist also ein ungeradzahliges Vielfaches von 4. Die Differenz zweier beliebiger gerade Quadratzahlen ist also zumindest noch ganzzahliges Vielfaches von 4. Damit folgt:

2p³ = 4n

p³ = 2n

Auch hier existiert also keine Lösung mehr, falls p nicht 2 ist. (Lässt man diese Forderung wieder fallen, erhält man noch die Lösung: s=4, d=0, e=8 falls man 0 als positive ganze Zahl durchgehen lässt)

 

Es existieren mit den gegebenen Forderungen also gar keine Lösungen!

Beantwortet von 10 k
Oh, ich habe gerade ganz und gerade verwechselt :-)

Der Beitrag zeigt also nur, dass es keine gerade Lösungen gibt. Ich denke nochmal über die ungerade nach.
Ja, dankeschön, wäre sehr hilfreich!

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage sofort und kostenfrei

x
Made by a lovely community
...