Berechne ONB und löse Least-Squares-Problem

Question

Aufgabe:

Gegeben seien \( v_{1}, v_{2}, v_{3} \in \mathbb{R}^{4} \) mit

\( v_{1}=(1,1,1,1)^{T}, \quad v_{2}=(3,3,1,1)^{T}, \quad v_{3}=(3,2,1,0)^{T} . \)

a) Berechnen Sie mit dem Gram-Schmidt-Algorithmus eine ONB von \( U=\operatorname{Span}\left(v_{1}, v_{2}, v_{3}\right) \) (bzgl. Standardskalarprodukt).

b) Bestimmen Sie \( \operatorname{dim}\left(U^{\perp}\right) \) sowie eine ONB von \( U^{\perp} \).

c) Bestimmen Sie die Orthogonalprojektion von \( b=(2,-1,0,1)^{T} \) auf \( U \).

d) Bestimmen Sie die Lösung des Least-Squares-Problems

\( \|A x-b\|_{2}=\min _{y \in \mathbb{R}^{3}}\|A y-b\|_{2} \)

mit \( b=(2,-1,0,1)^{T} \) und \( A=\left(\begin{array}{lll}v_{1} & v_{2} & v_{3}\end{array}\right) \).

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand hier weiterhelfen?

Answer 1

Also Gram-Schmidt

\(c_n=v_n \sum \limits_{i=1}^{n-1}\left(o_j v_n \right) o_j \to o_n= \frac{c_n}{|c_n|}\)

führt auf {o1,o2,o3}

\(\small ONB \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\\end{array}\right)\)

\( \text{U: erzeuge einen zu ONB}⟂ vektor \, o4= \small \left(\begin{array}{r}a\\b\\c\\d\\\end{array}\right) \to\\ \small ONB\left(\begin{array}{r}a\\b\\c\\d\\\end{array}\right)= 0  \)

\(\small \left\{  \left\{ a = d, b = -d, c = -d, d = d \right\}  \right\}  \to o4=\left(\begin{array}{r}1\\-1\\-1\\1\\\end{array}\right) \)

Projektion u ⊥ U :{ n = |o4|}

\(u_{<⊥U>} \, :=  \, u - \left<u, n \right> \; n \;=  \, \left(\begin{array}{r}1\\0\\1\\0\\\end{array}\right)\)

vermutlich soll heißen

\(\small \begin{array}{l}\quad \min _{x}\|A x-b\|_{2}^{2} \\ \qquad\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right):=\|A x-b\|_{2}^{2}= \\ \quad=(A x-b)^{T}(A x-b)=x^{T} A^{T} A x-2 x^{T} A^{T} b+b^{T} b= \\ \left|\left|\left(\left(\sum \limits_{j=1}^{n} a_{1, j} x_{j}\right)-b_{1}\right) \right|\right|^{2} \\ \vdots \\ \left|\left|\left(\left(\sum \limits_{j=1}^{n} a_{m, j} x_{j}\right)-b_{m}\right)\right|\right|_2=\sum \limits_{k=1}^{m}\left(\left(\sum \limits_{j=1}^{n} a_{k, j} x_{j}\right)-b_{k}\right)^{2}\end{array}\)

\(f_A \, := 4 \; x1^{2} + 20 \; x2^{2} + 14 \; x3^{2} + 16 \; x1 \; x2 + 12 \; x1 \; x3 + 32 \; x2 \; x3 - 4 \; x1 - 8 \; x2 - 8 \; x3 + 2 + 4 + 0\)

\(\displaystyle 0=\frac{d f}{d x_{i}}=2 \sum \limits_{k=1}^{m}\left(\sum \limits_{j=1}^{n} a_{k, j} x_{j}-b_{k}\right) a_{k, i} \)

\( \left\{ 2 \; \left(4 \; x + 8 \; y + 6 \; z - 2 \right), 2 \; \left(8 \; x + 20 \; y + 16 \; z - 4 \right), 2 \; \left(6 \; x + 16 \; y + 14 \; z - 4 \right) \right\} = 0\)

\(\to \left\{  \left\{ x = 1, y = -1, z = 1 \right\}  \right\} \)

oder Matrixgleichung

\( \sum \limits_{k=1}^{m} a_{k, i} \sum \limits_{j=1}^{n} a_{k, j} x_{j}=\sum \limits_{k=1}^{m} a_{k, i} b_{k} \)

\( \left(A^{T} A x\right)_{i}=\left(A^{T} b\right)_{i} \)