Bestimmen Sie alle Stellen, für welche die Abbildung f(x,y)=(xy,y^x) ein Diffeomophismus ist

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie alle Stellen $(x, y) \in(0, \infty) \times(0, \infty)$, für welche die Abbildung $f:(0, \infty) \times(0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}^{2}$, definiert durch
$f(x, y)=\left(x^{y}, y^{x}\right),$
ein lokaler Diffeomorphismus ist.

Problem/Ansatz:

Wie genau kann ich diese stellen bestimmen? - Folgendes hätt ich mir schon überlegt:

$\begin{array}{l}\operatorname{det}(\nabla f(x, y)) \neq 0 \\ \begin{aligned} \nabla f(x, y) & \left.=\left(\begin{array}{ll}\frac{d f_{1}}{d x} & \frac{d f_{1}}{d y} \\ \frac{d f_{2}}{d x} & \frac{d f_{2}}{d y}\end{array}\right)=\mid \begin{array}{ll}y x^{y-1} & x^{y} \ln (x) \\ y^{x} \ln (y) & x y^{x-1}\end{array}\right) \\ \operatorname{det}(\nabla f(x, y)) & =\left|\left(\begin{array}{ll}y x^{y-1} & x^{y} \ln (x) \\ g^{x} \ln (y) & x y^{x-1}\end{array}\right)\right| \\ & =y x^{y-1} \cdot x y^{x-1}-\left(x^{y} \ln (x) \cdot y^{x} \ln (y)\right)\end{aligned}\end{array}$