Alle (t,y)∈ℝ^2 finden, durch welche genau eine Lösungskurve der Differentialgleichungen verläuft: Bsp: y' = 1 + tan y

Question

Unter Benutzung des Satzes von Picard Lindelöf (lokale Version) finden Sie jeweils alle (t,y)∈ℝ^2, durch welche genau eine Lösungskurve folgender Differentialgleichungen verläuft:

(i) y' = 2ty + y^2

(ii) y' = 1 + tan y

(iii) (y - t) y' = y ln t

(iv) ty' = y + √(y^2-t^2)

Comments

(iv) ty' = y + √y²-t²

Ist -t^2 denn nicht mehr unter der Wurzel?

Dann kannst du auch (iv) ty' = y + |y| -t² schreiben.

Meinst du das Andere, muss man hier Klammern setzen:

(iv) ty' = y + √(y²-t²)

EDIT: Klammer oben ergänzt.

Bei (iv) verläuft dann sicher keine Lösungskurve durch den Bereich |y| > |t|. D.h. der gesuchte Bereich muss in D = {(t,y) | |t| ≥ |y|} liegen. Vielleicht gibt's aber noch weitere Einschränkungen.

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Doch t^2 ist noch unter der Wurzel.

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ich würde auch gerne wissen wie man das löst

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Schon dreist die Tutoriumsaufgabe (3 CP) vom Internet lösen zu lassen.

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es geht mehr um die Zulassung zur Klausur :-/

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Das war auch mein Grund, mir Hilfe zu holen.

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hast du denn andere Aufgaben gemacht?

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Habe versucht die Aufgaben 1 und 4 zu machen, möchte aber zur Sicherheit auch noch die anderen Aufgaben machen. Kannst du mir einen Tipp und vielleicht einen Ansatz geben?

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ich habe nur die aufgabe 1 (i) gemacht. Wie man den Rest löst habe ich leider keine Ahnung :-(

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Die Aufgabe 4 hast du doch vorgerechnet bekommen ;)

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Bei (ii) und (iii) ist vom Definitionsbereich her schon mal Folgendes auszuschliessen:

(ii) y' = 1 + tan y

Ausgeschlossen ist y = π/4 + kπ

Möglich maximal M={(t,y) | y ≠ π/4 + kπ, k Element Z}

(iii) (y - t) y' = y ln t

Ausgeschlossen ist t ≤ 0.

Maximal möglich ist M={(t,y) | t>0}

Prüfe nun noch, ob der angegebene Satz noch weitere Einschränkungen mit sich bringt.

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Danke Lu. Den Rest werde ich jetzt schaffen.