Ein Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter \( \lambda \) eines \( n \)-mal durchgeführten unabhängig identisch exponentialverteilten Experiments \( X_{1}, \ldots, X_{n} \) ist gegeben durch \( \hat{\lambda}=\frac{1}{\operatorname{mean}(X)} \).
In der folgenden Rechnung scheint anhand des Resultates offensichtlich ein Fehler zu sein. Wo genau ist dieser Fehler? Ich sehe Ihn einfach nicht.
\( \begin{aligned} L_{x}(\lambda) & =\prod \limits_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_{i}} \\ & =n \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}} \\ l_{x}(\lambda) & =\log L_{x}(\lambda) \\ & =\log (n)+\log (\lambda)-\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \\ l_{x}^{\prime}(\lambda) & =\frac{d l_{x}}{d \lambda}(\lambda) \\ & =\frac{1}{\lambda}-\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \\ l_{x}^{\prime}(\lambda)=0 & \Longrightarrow \hat{\lambda}=\frac{1}{\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}}=\frac{1}{n \operatorname{mean}(X)} \end{aligned} \)
