Maximun-Likelihood-Schätzer | unabhängig identisch Exponentialverteiltes Experiment

Question

Ein Maximum-Likelihood-Schätzer für den Parameter $\lambda$ eines $n$-mal durchgeführten unabhängig identisch exponentialverteilten Experiments $X_{1}, \ldots, X_{n}$ ist gegeben durch $\hat{\lambda}=\frac{1}{\operatorname{mean}(X)}$.

In der folgenden Rechnung scheint anhand des Resultates offensichtlich ein Fehler zu sein. Wo genau ist dieser Fehler? Ich sehe Ihn einfach nicht.
$\begin{aligned} L_{x}(\lambda) & =\prod \limits_{i=1}^{n} \lambda e^{-\lambda x_{i}} \\ & =n \cdot \lambda \cdot e^{-\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}} \\ l_{x}(\lambda) & =\log L_{x}(\lambda) \\ & =\log (n)+\log (\lambda)-\lambda \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \\ l_{x}^{\prime}(\lambda) & =\frac{d l_{x}}{d \lambda}(\lambda) \\ & =\frac{1}{\lambda}-\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} \\ l_{x}^{\prime}(\lambda)=0 & \Longrightarrow \hat{\lambda}=\frac{1}{\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}}=\frac{1}{n \operatorname{mean}(X)} \end{aligned}$

Comments

Erster Fehler, der mir auffällt ist n*λ zweite Zeile ist falsch, sondern λⁿ

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Stimmt, dann müsste man noch den Rest anpassen dann sollte es gehen, danke!

Answer 1

beim ersten und beim zweitletzten Wort im Titel