Berechnen Sie durch zweifaches Differenzieren unter dem Integralzeichen

Question

Aufgabe:

Sei $a \in(0, \infty)$. Berechnen Sie

$\int \limits_{0}^{a} x^{2} \sin (x) d x$

indem Sie die Funktion

$F(y)=\int \limits_{0}^{a} \sin (x y) d x$

zweimal unter dem Integralzeichen differenzieren.

Problem/Ansatz:

Bräuchte hier Hilfe..

Answer 1

Es gilt
$\begin{aligned} \int_{ 0}^{ a} \sin\left( x y\right) \, dx = \left[ - \frac{ \cos\left( xy\right) }{ y} \right]_{ 0}^{ a} = \frac{1}{ y} - \frac{ \cos\left( a y\right) }{ y} .\end{aligned}$
Zweifaches differenzieren ergibt
$\begin{aligned} \partial_{ y} ^{ 2}\int_{ 0}^{ a} \sin\left( xy\right) \, dx = \int_{ 0}^{ a} \partial_{ y} ^{ 2}\sin\left( xy\right) \, dx = - \int_{ 0}^{ a} x^{ 2}\sin\left( xy\right) \, dx = \partial_{ y} ^{ 2} \left( \frac{1}{ y} - \frac{ \cos\left( ay\right) }{ y} \right) .\end{aligned}$
Jetzt musst du also nur noch die Ableitung auf der rechten Seite berechnen und $y = 1$ setzen (noch mit $-1$ multiplizieren).

Comments

Alles klar danke.
Wie meinst du das mit dem -1 multiplizieren

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Okay ich hab verstanden wieso wir mit -1 multiplizieren. Aber wieso setze ich dann y=1?

Lg

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Kannst du mir vielleicht noch den Rest zeigen?

LG