Aufgabe:
Sei \( a \in(0, \infty) \). Berechnen Sie
\( \int \limits_{0}^{a} x^{2} \sin (x) d x \)
indem Sie die Funktion
\( F(y)=\int \limits_{0}^{a} \sin (x y) d x \)
zweimal unter dem Integralzeichen differenzieren.
Problem/Ansatz:
Bräuchte hier Hilfe..
Es gilt\(\begin{aligned} \int_{ 0}^{ a} \sin\left( x y\right) \, dx = \left[ - \frac{ \cos\left( xy\right) }{ y} \right]_{ 0}^{ a} = \frac{1}{ y} - \frac{ \cos\left( a y\right) }{ y} .\end{aligned}\)Zweifaches differenzieren ergibt\(\begin{aligned} \partial_{ y} ^{ 2}\int_{ 0}^{ a} \sin\left( xy\right) \, dx = \int_{ 0}^{ a} \partial_{ y} ^{ 2}\sin\left( xy\right) \, dx = - \int_{ 0}^{ a} x^{ 2}\sin\left( xy\right) \, dx = \partial_{ y} ^{ 2} \left( \frac{1}{ y} - \frac{ \cos\left( ay\right) }{ y} \right) .\end{aligned}\)Jetzt musst du also nur noch die Ableitung auf der rechten Seite berechnen und \( y = 1\) setzen (noch mit \( -1\) multiplizieren).
Alles klar danke.Wie meinst du das mit dem -1 multiplizieren
Okay ich hab verstanden wieso wir mit -1 multiplizieren. Aber wieso setze ich dann y=1?
Lg
Kannst du mir vielleicht noch den Rest zeigen?
LG
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