Für welche m, n ∈ N gilt nφ(m) = mφ(n)?

Question

Aufgabe:

Für welche m, n ∈ N gilt nφ(m) = mφ(n)?

Problem/Ansatz:

ich denke wenn m=n, wer kann vollständig lösen?

Lg

Comments

Was ist denn phi für eine Abbildung?

Answer 1

1. Es ist \(n\sim m\iff m\varphi(n)=n\varphi(m)\iff n/m=\varphi(n)/\varphi(m)\quad(*)\)

eine Äquivalenzrelation auf \(\mathbb{N}^*\).

Andererseits ist $$\varphi(k)=k\cdot \prod_{p|k}(1-1/p)$$Damit ergibt sich$$m\sim n\iff\prod_{p|n}(1-1/p)=\prod_{q|m}(1-1/q)$$Sind daher die Mengen der Primteiler von \(m\) und \(n\) gleich, wenn also für jede Primzahl

\(p\)  gilt: \(\quad p|m\iff p|n\). dann gilt \((*)\)

Comments

ich habe leider nicht verstanden die fünfte Zeile , Φ(k), woher kommt p , q ?

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Dies folgt aus \((*)\) und \(\varphi(k)=k\cdot \prod_{p|k}(1-1/p)\)