Es gilt ja schonmal \( J( f) \geqslant 0\) und wir wollen jetzt für jedes \( \varepsilon >0\) eine Funktion \( f _{ \varepsilon } \) finden, sodass
\( J( f _{ \varepsilon } ) < \varepsilon \). Dabei dient ja \( f _{ \varepsilon } '( x) \) als Dämpfungsfaktor für \( x^{ 2}\), also wollen wir, dass die
Ableitung irgendwie sehr klein wird, jedoch \( f _{ \varepsilon } \) trotzdem noch die Randbedinugnen erfüllt.
Ich hatte so eine Funktion für \( f _{ \varepsilon } \) im Kopf:
Die Symmetrie von \( f _{ \varepsilon } \) macht es uns dann einfach, die gegebenen Randbedingungen zu erfüllen, wir können nämlich einfach normieren (i.e. dividieren).
Eine Möglichkeit, die mir eingefallen ist, wäre der Tangens Hyperbolicus:
\(\begin{aligned} f _{ \varepsilon } ( x) = \frac{\tanh\left( \frac{x}{ \varepsilon} \right) }{ \tanh\left( \frac{1}{ \varepsilon } \right) } , \quad f_{ \varepsilon } '( x) = \frac{ 1-\tanh\left( \frac{x}{ \varepsilon }\right) ^{ 2}}{ \varepsilon \tanh\left( \frac{1}{ \varepsilon }\right) } .\end{aligned}\)
Nun gilt \( f' _{ \varepsilon } ( x) x^{ 2} \to 0\) für \( \varepsilon \to 0\) (das musst du zeigen/verifizieren) und z.B. mittels majorisierter Konvergenz (alternativ kannst du uniforme Konvergenz
zeigen) kann man dann schliessen, dass
\(\begin{aligned} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_{ -1}^{ 1} f' _{ \varepsilon } ( x) x^{ 2} \, dx = \int_{ -1}^{ 1} \lim_{\varepsilon \to 0} f_{ \varepsilon } '( x) x^{ 2} \, dx = 0 .\end{aligned}\)
