Bestimme t so, dass die Funktion f_t zwei, genau eine oder keine Nullstellen hat

Question

Aufgabe:

$$f_t(x)=x^2-4x+t$$

Bestimme t so, dass die Funktion f_t zwei, genau eine oder keine Lösung hat

Problem/Ansatz:

Löse die Gleichung mit p-q-Formel und erhalte

$$x_{1/2}= 2\pm\sqrt{4-t}$$

Genau eine Lösung für t=4, zwei Lösungen für t <4, keine Lösung für t>4

Stimmt das?

Comments

"...so, dass die Funktion"

.... oder eher "die Gleichung" ? Wenn ja, welche?

Answer 1

Wenn man t = 4 einsetzt, ergibt sich:

Wenn man t ändert, verschiebt sich die Parabel nach oben oder unten.

Answer 2

Deine Aussage zu der Anzahl der Nullstellen ist vollkommen richtig.

Answer 3

Aloha :)

Wir formen die Funktionsgleichung ein wenig um:$$f(x)=x^2-4x+t=(x^2-4x\pink{+4})+(t\pink{-4})=\color{blue}(x-2)^2+(t-4)\stackrel!=0$$Die letzte Gleichung können wir umformen:$$\color{blue}(x-2)^2=-(t-4)=4-t$$

Daraus lesen wir die möglichen Fälle ab:$$\text{1. Fall: }t<4\implies4-t>0\implies\text{2 Lösungen}$$$$\text{2. Fall: }t=4\implies4-t=0\implies\text{1 Lösung}$$$$\text{3. Fall: }t>4\implies4-t<0\implies\text{0 Lösungen}$$

Deine Überlegungen sind also völlig korrekt\(\quad\checkmark\)