Berechnen Sie mittels Extremwertaufgabe unter Nebenbedingung die optimale

Question

Aufgabe:

Der frisch von der Hochschule kommende Produktionschef Paul Feiertag eines mittelständischen Unternehmens soll eine Erweiterungsinvestition vornehmen und hat dafür
nach drei Wochen Analysetätigkeit die Produktionsfunktion
P = f(A, K) = 2 * 10³ * A^0,25 * K^0,75
ermittelt.

Hier bezeichnet

A: die Arbeitskräfte,

K: in Maschinen und Ausrüstung investiertes Kapital und

P: den Produktionsoutput.

Feiertag möchte das ihm zur Verfügung stehende Kapital von 1 Mio. Euro so aufteilen, daß die Ausbringungsmenge P maximal wird.

Der Inhaber des Unternehmens, Paul Klug, ist der Auffassung das eine gleichmäßige Aufteilung A = K = 0,5 aus seiner Erfahrung immer noch das Beste ist.

Der Berater des Mittelständlers, Josef Ehrlich, aus der Unternehmensberatung „Schnell & Ehrlich" empfiehlt die Aufteilung A = 0,75; K = 0,25.

Die Schulpraktikantin Pauline Schnell empfiehlt die Aufteilung A =0,25; К = 0,75.

(a) Wie hoch sind die Ausbringungsmengen für die drei vorgeschlagenen Aufteilungen
von A und K.

b) Berechnen Sie mittels Extremwertaufgabe unter Nebenbedingung die optimale
Aufteilung von Arbeit und Kapital.

Problem/Ansatz:

a) ist ja relativ einfach.

Man setzt die jeweiligen vorgeschlagenen A und K in die Formel ein und rechnet aus

Paul Klug: 2*10³* 0.5^0.25 * 0.5^0.75

= 1000

Josef Ehrlich: 2*10³ * 0.75^0.25 * 0.25^0.75

=658.04

Pauline Schnell : 2*10³  * 0.25^0.25 * 0.75^0.75

=1139.75

b) Weiss ich gar nicht wie ich vorgehen soll? wäre nett wenn mir einer helfen könnte bzw. es vorrechnen könnte :) 

Answer 1

Weiss ich gar nicht wie ich vorgehen soll?

Du hast die Aufgabe mit "lagrange" verschlagwortet. Also weißt Du es doch....?

Man kann es aber auch direkt aus der Funktion ablesen.

Du hast einen etwas seltsamen Titel gewählt.

Comments

Ich verstehe die Aufgabe nicht ganz.

b) Berechnen Sie mittels Extremwertaufgabe unter Nebenbedingung die optimale
Aufteilung von Arbeit und Kapital.

Was genau ist denn hier die NB zb?

Es ist möglich das ich einen schlechten Titel gewählt habe nur jedoch weiß ich halt immer noch nicht weiter wie ich diese Aufgabe lösen soll.

Deshalb hab ich ja nach Hilfe gefragt und wäre darüber erfreut wenn mir jemand dabei behilflich sein könnte

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Die Nebenbedingung ist

das ihm zur Verfügung stehende Kapital von 1 Mio. Euro

Answer 2

b) Berechnen Sie mittels Extremwertaufgabe unter Nebenbedingung die optimale
Aufteilung von Arbeit und Kapital.

2 gängige Möglichkeiten sind:

1. Löse die Nebenbedingung zu einer Unbekannten auf und setze das Ergebnis für die Unbekannte in die Hauptbedingung ein. Maximiere dann die Hauptbedingung, die nur noch von einer Unbekannten abhängt.

2. Verwende das Optimierungsverfahren von Lagrange.

Hier eine Lösung von Wolframalpha

Comments

Hey,

Wenn ich es mit 2) lösen will wie ist die NB?

ist x+y=1 , die NB?

dann müsste ich ja glaub ich

x+y-1=0 machen für die neue NB

dann

2000x^0.25*y^0.75  + Lx + Ly - 1L

Und dann nach

x , y und nach L ableiten oder ?

Wäre dir echt dankbar wenn du mir helfen könntest :-)

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ist x+y=1 , die NB?

Ja genau.

Deine Lagrangefunktion sieht auch gut aus. Schaffst du es dann die partiellen Ableitungen zu bilden? Notfals hilft ein Ableitungsrechner.

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Erstmal wirklich vielen dank für deine Hilfe bis jetzt!

Ich habe folgende partielle Ableitungen hergestellt.

nach x:

500x^(-0.75)*y^0.75 + L

nach y:

500x^0.25*y^-(0.25) + L

nach L:

x+y-1

als nächstes weiss ich das ich ja x = 0 auflösen muss und y=0. Ich habe es probiert habe es aber nicht geschafft. Könntest du mir da bitte behilflich sein ?

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Du musst die partiellen Ableitungen gleich Null setzen

500·y^0.75/x^0.75 + L = 0

1500·x^0.25/y^0.25 + L = 0

Eliminiere hieraus L, z.B. über das gleichsetzungsverfahren

y^0.75/x^0.75 = 3·x^0.25/y^0.25

Löse das dann zu einer Unbekannten auf

y = 3·x

und setze es in die dritte partielle Ableitung ein um nach x aufzulösen.

Answer 3

$P = f(A, K) = 2 * 10^3 * A^{0,25} *K^{0,75}$

NB:

$A+K=1000000$  →   $K=1000000-A$

$f(A) = 2 * 10^3 * A^{0,25} *(1000000-A)^{0,75}$

$f´(A) \\= 2 * 10^3 *[ 0,25*A^{0,25-1} *(1000000-A)^{0,75}-A^{0,25}*0,75*(1000000-A)^{0,75-1}]$

$2 * 10^3 *[ 0,25*A^{0,25-1} *(1000000-A)^{0,75}-A^{0,25}*0,75*(1000000-A)^{0,75-1}]=0$

$A^{-0,75} *(1000000-A)^{0,75}=3*A^{0,25}*(1000000-A)^{-0,25}$

$1000000-A=3*A$

$A=250000$

$K=750000$