Extremstellen mehrdimensional mit einem reellen Parameter

Question

Hallo, ich habe ein Problem bei dieser Aufgabe. Und zwar stört das x², kann mir jemand sagen, wo ich einen Fehler habe?

Viele Grüße

Kevin

Answer 1

Wo du die Gleichung durch - 2 teilen wolltest hast du einen Fehler gemacht. Du hast auf der linken Seite mit - 2 multipliziert!

3·(- 0.5·a)² + 2·y = 0
2·y + 0.75·a² = 0
y = - 0.375·a²

Mögliche Extremstelle

(- 0.5·a | - 0.375·a²)

Comments

Vielen Dank für Ihre Antwort. Ich rechne dann mal weiter :-)

---

Guten Morgen, ich habe die Aufgabe komplett gerechnet. Kann da mal bitte jemand drüber schauen?

Text erkannt:

$\begin{array}{ll} f^{\prime} x(x, y)=3 x^{2}+2 y & f^{\prime \prime} x(x, y)=6 x \\ f^{\prime} y(x, y)=2 x+a & f^{\prime \prime} y(x, y)=0 \end{array}$
I $3 x^{2}+2 y=0$
$2 \times+5=0 \mid-a$
II $2 x+a=0 \Rightarrow x=-\frac{a}{2}$ cinsefzen in $I$
$2_{x}=-a \quad 1: 2$
$\begin{array}{c} 3 \cdot\left(-\frac{a}{2}\right)^{2}+2 y=0 \quad 1-2-1 \\ 3 \cdot(-0,5 a)^{2}=-2 y \\ -0,75 a^{2}=-2 y \\ 0,375^{2}=-y \end{array}$
$x=-\frac{a}{2}$
$\left(-0,5 a \mid q 375 a^{2}\right)$ mögliche Extremstelle
$\begin{array}{l} H_{f}(x, y)=\left(\begin{array}{ll} f_{x x} & f_{x y} \\ f_{x y} & f_{y y} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc} 6 x & 2 \\ 2 & 0 \end{array}\right) \\ f_{x y}=2 \\ \text { If } f\left(-0,5 a \mid 0,375 a^{2}\right)=6 \cdot(-0,5 a) \cdot 0-2 \cdot 2=-4 \\ T P=\left(-0,5 a \mid 0,375 a^{2}\right) \\ \end{array}$

---

Die Hessematrix hast Du richtig berechnet. Und im kritischen Punkt $T_{P}$ ist die Hessematrix$$H_{f}(T_{P})= \begin{pmatrix} -3a & 2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$wenn Du hier die Eigenwerte berechnest, kommst Du ...$$\begin{aligned} (-3a-\lambda)(-\lambda) - 4 &= 0 \\ \lambda^2 +3a\lambda - 4 &= 0\\ \lambda_{1,2} &= -\frac{3}{2}a \pm \sqrt{\frac{9}{4}a^2 + 4} \end{aligned}$$... unabhängig vom Wert von $a$ immer zu einem negativen und einem positiven Wert (warum?). D.h. $T_{P}$ ist ein Sattelpunkt.

Die Höhenlinien von $f$ zeigen das auch:

Den Punkt $a=\dots$ kann man horizontal verschieben.