Vektorfeld und Potentiale

Question

Aufgabe:

Überprüfen Sie ob die folgenden Vektorfelder Potentiale haben (auf R²). Berechnen Sie diese gegebenenfalls

$$g(x,y))= e^x \left(\begin{array}{c} cosy \\ siny \end{array}\right)$$

Problem/Ansatz:

Hier muss ich doch erstmal schauen ob die Rotation=0 ist.

Wie berechne ich dann das Potential

Answer 1

Aloha :)

Damit die Funktion $g(x;y)$ ein Potential hat, muss ihre Rotation verschwinden. Zur Berechnung der Rotation machen wir eine Funktion im $\mathbb R^3$ daraus, indem wir die $z$-Komponente auf Null setzen. Wir betrachten also die Hilfsfunktion:$$h(x;y)=\begin{pmatrix}e^x\cos y\\e^x\sin y\\0\end{pmatrix}$$

Ihre Rotation ist$$\operatorname{rot} \vec h(x;y)=\begin{pmatrix}\partial_x\\\partial_y\\\partial_z\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}e^x\cos y\\e^x\sin y\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0-0\\0-0\\e^x\sin y-e^x(-\sin y)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\2e^x\sin y\end{pmatrix}\ne0$$

Da die Rotation nicht verschwindet, ist die Integrabilitätsbedingung nicht erfüllt, sodass $\vec h(x;y)$ bzw. $\vec g(x;y)$ kein Potential besitzt.

Answer 2

Prüf doch erstmal, ob die Rotation =0 ist. Danach sehen wir weiter.