Zeige, dass das Flächenverhältnis konstant ist.

Question

Im Schwerpunkt eines gleichseitigen Dreieck schneiden sich die Geraden g und h unter einem Winkel von 60°:

Dadurch entstehen zwei Flächenpaare (hell- und dunkelgrau unterlegt). Zeige, dass das Flächenverhältnis \( \frac{hellgrau}{dunkelgrau} \) bei Drehung um den Schnittpunkt des Geradenpaares (g,h) konstant ist.

Comments

Monty, deine Lösungsidee ist sicher richtig. Leider ist deine Formulierung so unglücklich, dass nicht wirklich erkennbar ist, was du meinst. Vermutlich ist die dritte Gerade durch den Schwerpunkt, welche die Geraden g und h jeweils unter 60° schneidet (von der du offenbar sprichst), diejenige, welche sowohl den 120°-Winkel zwischen g und h als auch einen Innenwinkel des gleichseitigen Dreiecks halbiert. Oder?

Answer 1

Dreht man das grüne Geradenpaar um den Schwerpunkt, ändert sich weder der Inhalt der oberen hellgrauen Teilfläche noch der Inhalt der unteren hellgrauen Teilfläche, da sich der dabei erfolgte Flächenverlust mit einem Flächengewinn gleicher Größe ausgleicht. Die gelb schraffierten Flächen sind kongruent, ebenso die rot schraffierten Flächen.