~draw~ rechteck(-1|-1 2 2)#;kreis(0|0 1)#;kreissektor(0.707|0 0.707 90 180){F00};kreissektor(0|0.707 0.707 270 0){F00}#;dreieck(0|0 0.707|0 0.707|0.707);zoom(1);aus;alpha(0.4) ~draw~
Angenommen das äußere Quadrat hat Seitenlänge \(2a\).
Dann hat der äußere graue Rand schon einmal Flächeninhalt \( 4a^2 - \pi a^2 = (4-\pi)a^2\)
Das blaue Dreieck ist gleichschenklig, rechtwinklig und die Hypotenuse hat die Seitenlänge \( a \). Nach Pythagoras haben die Schenkel eine Länge von \( \frac{a}{\sqrt{2}} \).
Jetzt können wir den nicht-blauen Anteil des "Blatts" berechen, das ist der rote Viertelkreis - das blaue Dreieck:
$$ \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 - \frac{1}{2} \left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{a^2}{4}\left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) $$
Das ganze "Blatt" hat also Flächeninhalt \( \frac{a^2}{2}\left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \).
Die weiße Fläche ist somit: \( \pi a^2 - 4 \cdot \frac{a^2}{2}\left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \)
Die graue: \( (4-\pi)a^2 + 4 \cdot \frac{a^2}{2}\left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \)
Grau zu weiß:
$$ \frac{(4-\pi) + 2\left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) }{ \pi- 2\left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) } = 1 $$
