Hier meine liebe mein lieber
Hinweis: Sind α,β∈N natürliche Zahlen mit β2α2∈N, so gilt bereits βα∈N.
Beweis. Seien x,y,z∈N.
reflexiv: Es ist offenbar x∼x, da x⋅x=x2 und x∈N.
∼ symmetrisch: Es gelte x∼y. Dann existiert eine natürliche Zahl a∈N mit xy=a2.Da(N,⋅) kommutativ ist, gilt yx=xy=a2, also y∼x.
transitiv: Es gelte x∼y und y∼z. Dann existieren natürliche Zahlen a,b∈N mit xy=a2 und yz=b2. Es gilt
xz=y2xy2z=y2a2b2=(yab)2