Gradienten berechnen; Lösung

Question

Sei f : R³ → R, f(x, y, z) = x² · y³ · z⁴

Berechnen Sie den Gradienten zu f an der Stelle (x₀, y₀, z₀) = (2, 1, −1) näherungsweise, indem Sie jeweils numerische Ableitungen nutzen, d.h. entsprechende Differenzenquotienten, mit h = 0.1.

Lösung:

grad f(2; 1; -1) = ( (f(2,1; 1; -1) - f(2; 1; -1)) / 0,1  ; (f(2; 1,1; -1) - f(2; 1; -1)) / 0,1  ; (f(2; 1; -0,9) - f(2; 1; -1)) / 0,1 )

= (4,1 ; 13,24 ; -13,756)

Auf die 4,1 kann ich auch kommen, allerdings nicht auf 13,24 und -13,756.

Wenn ich das nach dem ersten Semikolon bei gradf ausrechne, um offensichtlich auf die 2. Stelle in der Lösung, also auf 13,24 zu kommen, komme ich auf eine andere Zahl.

Answer 1

Aloha :)

Eigentlich musst du doch nur Zahlen in die Funktion$$f(x;y;z)=x^2\cdot y^3\cdot z^4$$einsetzen. Das führt auf folgende Näherung für den Gradienten:

$$\frac{\partial f}{\partial x}\approx\frac{(x+0,1)^2\cdot y^3\cdot z^4-x^2\cdot y^3\cdot z^4}{0,1}\bigg|_{(x;y;z)=(2;1;-1)}=4,1$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}\approx\frac{x^2\cdot (y+0,1)^3\cdot z^4-x^2\cdot y^3\cdot z^4}{0,1}\bigg|_{(x;y;z)=(2;1;-1)}=13,24$$

$$\frac{\partial f}{\partial y}\approx\frac{x^2\cdot y^3\cdot (z+0,1)^4-x^2\cdot y^3\cdot z^4}{0,1}\bigg|_{(x;y;z)=(2;1;-1)}=-13,756$$

Comments

Ok, scheinbar hatte ich das richtig, nur falsch mit dem TR berechnet.

Danke für die ausführliche Antwort!

Answer 2

Was ist denn Deine Frage? Wie es gerechnet wird, weißt Du vermutlich, sonst würdest Du ja nicht in der ersten Komponente auf das richtige Ergebnis kommen. Die genannten Ergebnisse sind korrekt, wo Du Dich verrechnet hast, kann man nur sagen, wenn Du Deine Rechnung präsentierst. Wie die richtige Rechnung aussiehst, weißt Du ja selbst. Vielleicht falsch abgeschrieben oder falsch ausgeklammert?

Comments

Nein, die obige Lösung stammt von der Musterlösung.

Ich habe sie abgetippt.

Ich selbst komme auf 1:1 das gleiche, nur ganz am Ende steht bei mir nicht (4,1 ; 13,24 ; -13,756).

Bei mir fängt es auch mit 4,1 an, aber der Rest ist anders. Wie werden die anderen beiden Zahlen gebildet?

LG

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Das hast Du schon gesagt, und darauf habe ich ja geantwortet. Formeln stehen ja da, f(x,y,z) ist auch gegeben, also einsetzen, ausrechnen.

Da steht nur "Differenzenquotienten mit h=0.1". Da gibt es mehrere Möglichkeiten, in der Musterlösung steht nur eine davon. Man muss nicht auf die Musterlösung kommen um eine Aufgabe richtig zu lösen.

Also nochmal: Wie hast Du gerechnet? Dein Ergebnis kann auch richtig sein.

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Ja, ich wollte halt dennoch auf die Musterlösung kommen.

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Warum? Eine richtige Lösung würde reichen, und davon gibt es mehrere. Es ist ein (wenn auch verbreiteter) Irrglaube, dass man genau auf die mitgelieferte Lösung kommen muss.