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Lineare Regression light! Aus Messungen haben wir Punktewolke, d.h., Beobachtungen von Wertepaaren \( \left(x_{i}, y_{i}\right) \) einer freien Variablen \( X \) und einer abhängigen Variablen \( Y \). Die lineare Regression hat nun die Aufgabe, durch diese Punktewolken eine möglichst gute Gerade zu legen, d.h., eine Gerade mit möglichst kleinen Abständen zu den Punkten - d.h., wir minimieren die Summe der quadrierten Differenzen - ein klassisches Optimierungsproblem. Überlegen Sie sich, warum die Differenzen quadriert werden!
Dazu erinneren wir uns, dass eine Gerade durch zwei Parameter gegeben ist - in der Schule \( k \) und \( d \), in der Statistik bezeichnet man sie als \( b_{0} \) und \( b_{1} \) und die Geradengleichung hat die Form:
\( \hat{y}=b_{0}+b_{1} x \)
Dabei ist \( \hat{y} \) der Punkt auf der Geraden, der zu einem Wert \( x \) der freien Variablen gehört, und die Optimierung besteht nunt darin, dass wir jene Werte \( b_{0} \) und \( b_{1} \) suchen, welche die Summe der quadrierten Abstände zwischen den tatsächlichen Werten \( y_{i} \) und den Werten \( \hat{y}_{i} \) minimiert:
\( \sum \limits_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\hat{y}_{i}\right)^{2}=\sum \limits_{i=1}^{n}\left(\left(y_{i}-\left(b_{0}+b_{1} x_{i}\right)\right)^{2} \rightarrow \min \right. \)
Lassen Sie sich nicht verwirren! Wir haben hier zwar \( x \) und \( y \)-Werte - aber optimiert wird in den beiden Variablen \( b_{0} \) und \( b_{1} \) ! Das war eine lange Einleitung.
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(a) Gegeben seien die folgenden Wertepaare \( \left(x_{i}, y_{i}\right):(-4,-5),(3,5.2) \) und \( (8,23) \). Setzen Sie diese Werte in die Formel (1) ein! Plotten Sie die Funktion (als Funktion in \( b_{0} \) und \( \left.b_{1}\right) \) !
(b) Finden Sie mithilfe des Gradienten und der Hessematrix die optimalen Werte für \( b_{0} \) und \( b_{1} \) zu den Wertepaaren aus Punkt (a)!
(c) Vergewissern Sie sich der Richtigkeit Ihrer Rechnung mit einem Programm Ihrer Wahl - Wolfram Alpha z.B. bietet Ihnen die Funktion linear fit an, \( \mathrm{R} \) hat lm (lineare Modelle) zu bieten usw.
Aufgabe:
Problem/Ansatz: Könnt ihr mir bei diesen Aufgabe helfen? Ich muss das rechnen und erklären, aber ich kenn mich nicht aus. Danke im Voraus für die Mithilfe!!!!
