Aloha :)
$$x'(t)=(t+\sin t)\cdot x(t)\implies\frac{x'(t)}{x(t)}=t+\sin t\implies \ln x(t)=\frac{t^2}{2}-\cos t+c\implies$$$$x(t)=e^{\frac{t^2}{2}-\cos t+c}\implies x(t)=e^c\cdot e^{\frac{t^2}{2}-\cos t}\implies x(t)=C\cdot e^{\frac{t^2}{2}-\cos t}$$
Du hast die Integrationskonstante vergessen und irgendwie ein falsches Minuszeichen im Exponenten erhalten. Ohne deinen Rechenweg zu sehen, kann ich dir aber nicht sagen, wo konkret du dich vertan hast.
