Basiswechselmatrix berechnung einer linearen Abbildung

Question

Aufgabe:

p = (\( \begin{pmatrix} x1 \\ x2 \\ x3 \end{pmatrix} \)) = \( \begin{pmatrix} x1 + x2 \\ x2 + x3 \\ x3+x1 \end{pmatrix} \)

Weiter seien B und B' zwei Basen des R³

B =   \( \vec{b} \)₁ \( \begin{pmatrix} 3\\2\\3 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b} \)₂ \( \begin{pmatrix} -1\\1\\3 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b} \)₃ \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

B' =   \( \vec{b'} \)₁ \( \begin{pmatrix} 1\\1\\0 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b'} \)₂ \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) , \( \vec{b'} \)₃ \( \begin{pmatrix} 1\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Berechnen sie die Matrix von p ◦ p bezüglich der Basen B und B', also _B′[p ◦ p]_B

Problem/Ansatz:

Berechnen sie die Matrix von p ◦ p bezüglich der Basen B und B', also _B′[p ◦ p]_B

Ich wusste nicht genau wie ich _B′[p ◦ p]_B also habe ich B'[p]B berechnet und die nochmals miteinander multipliziert.

und habe \( \begin{pmatrix} 7 & -2 & -1 \\ -6 & 8 & 2 \\ 30 & 16 & 6 \end{pmatrix} \) _{für B′}[p ◦ p]<sub>B raus.

Stimmt das so?</sub>

Answer 1

Aloha :)

Die Abbildungsmatrix \(P\)$$p(x_1;x_2;x_3)=\begin{pmatrix}x_1+x_2\\x_2+x_3\\x_1+x_3\end{pmatrix}=x_1\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+x_2\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}+x_3\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 1 & 0\\0 & 1 & 1\\1 & 0 & 1\end{pmatrix}}_{=P}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$quadrieren wir zunächst, um \((p\circ p)\) zu erhalten:$$(p\circ p)(x_1;x_2;x_3)=P^2\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\underbrace{\begin{pmatrix}1 & 2 & 1\\1 & 1 & 2\\2 & 1 & 1\end{pmatrix}}_{=P^2}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}$$

Die Abbildungsmatrix \(P^2={_E}{P^2}_E\) müssen wir nun von der Standard-Einheitsbasis \(E\) in die Eingangsbasis \(B\) und Ausgangsbasis \(B'\) umrechnen:$${_{B'}}{P^2}_B={_{B'}\mathbf{id}_E} \cdot{_E{P^2}_E}\cdot{_E\mathbf{id}_B}=\left({_{E}\mathbf{id}_{B'}}\right)^{-1}\cdot{_E{P^2}_E}\cdot{_E\mathbf{id}_B}$$

Die Transformationsmatrizen von \(B\) nach \(E\) bzw. \(B'\) nach \(E\) kennen wir, weil die Koordinaten der Basisvektoren von \(B\) und \(B'\) bezüglich der Standard-Einheitsbasis \(E\) angegeben sind:$${_E}\mathbf{id}_B=\left(\begin{array}{rrr}3 & -1 & 1\\2 & 1 & 0\\3 & 3 & 1\end{array}\right)\quad;\quad {_E}\mathbf{id}_{B'}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 1 & 1\\1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1\end{array}\right)$$

Damit erhalte ich:$${_{B'}}{P^2}_B=\left(\begin{array}{rrr}11 & 6 & 3\\-12 & -4 & -4\\11 & 2 & 3\end{array}\right)$$

Comments

Ui, also muss ich das ganze vorher quadrieren :S, danke für die wie immer ausführliche Erklärung :)