Basiswechselmatrix Basiswechsel Transformationsmatrix Bild Urbild

Question

Aufgabe:

(Die darstellende Matrix emer linearen Abbildung)

Gegeben seien drei Basen \( \mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D} \) von \( \mathbb{R}^{2} \) sowie ein Vektor \( v \in \mathbb{R}^{2} \) :

\( \begin{array}{l} \mathcal{B}=\left\{b_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right), \quad b_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 1 \end{array}\right)\right\}, \quad \mathcal{C}=\left\{c_{1}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right), \quad c_{2}=\left(\begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right)\right\}, \\ \mathcal{D}=\left\{d_{1}=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right), \quad d_{2}=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right)\right\}, \quad v=\left(\begin{array}{l} 2 \\ 5 \end{array}\right) . \\ \end{array} \)

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) die linear Abbildung gegeben durch \( f\left(c_{1}\right)=d_{1}, f\left(c_{2}\right)=d_{2} \).

(a) Stellen Sie \( b_{1} \) als Linearkombination bezüglich der Basis \( \mathcal{C} \) dar.

(b) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) von der Identitätsabbildung id: \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) bezüglich die Basen \( \mathcal{B} \) in Urbild und \( \mathcal{C} \) in Bild, sowie die darstellende Matrix \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) von id: \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) bezüglich die Basen \( \mathcal{C} \) in Urbild und \( \mathcal{B} \) in Bild.
(Bemerkung: die Matrix \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) heißt die Basiswechselmatrix für die Basiswechsel von \( \mathcal{B} \operatorname{nach} \mathcal{C} \).

(c) Bestimmen Sie den Koordinatenvektor \( v_{\mathcal{B}} \) von \( v \) bezüglich die Basis \( \mathcal{B} \).

(d) Bestimmen Sie die Koordinatenvektor \( v_{\mathcal{C}} \) mit Hilfe der darstellende Matrix \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \).

(e) Bestimmen Sie die Basiswechselmatrix \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{D}} \) für die Basiswechsel von \( \mathcal{B} \) nach \( \mathcal{D} \).

(f) Berechnen Sie den Koordinatenvektor \( f\left(b_{1}\right)_{\mathcal{C}} \) von \( f\left(b_{1}\right) \) bezüglich die Basis \( \mathcal{C} \).

(g) Bestimmen Sie die darstellende Matrix \( f_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) von \( f \) bezüglich die Basen \( \mathcal{B} \) und \( \mathcal{C} \).
(h) Berechnen Sie \( f_{\mathcal{B}}^{\mathcal{D}} \) mit Hilfe der Ergebnisse von (b), (e) und \( (\mathrm{g}) \).

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufgabe b garnicht. Ist jemand dazu bereit mir diese zu erklären? Wie komme ich auf f(c1)=d1 und f(c2)=d2?

Was ich bisher verstanden habe: Die Identitätsabbildung ist eine Abbildung, die auf sich selbst abgebildet wird.

Danke im Voraus.

Es grüßt euch

Elena ;D

Answer 1

a) hast du ja vermutlich geschafft.

Offenbar hast du aber ein Problem mit der Vorgabe

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung gegeben durch \( f\left(c_{1}\right)=d_{1}, f\left(c_{2}\right)=d_{2} \).

und erwartest wohl eher sowas wie

Sei \( f: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} \) die lineare Abbildung gegeben durch \( f\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} \dots\\\dots \end{pmatrix} \).

Das ist dadurch allerdings schon gegeben, bzw. lässt sich aus den

Vorgaben gewinnen.     \( f\left(c_{1}\right)=d_{1}, f\left(c_{2}\right)=d_{2} \)  heißt ja

\( f\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right) \) und \( f\left( \begin{array}{l} 4 \\ 3 \end{array}\right)=  \left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right) \) 

Dazu musst du "nur" \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) als Linearkombination

von c1 und c2 darstellen, etwa so

\( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =  (0.3x-0.4y)\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)    +  (0.1x+0.2y )   \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \)

Dann bekommst du ja wegen der Linearität

\( f\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} =  (0.3x-0.4y)f\left(\begin{array}{c} 2 \\ -1 \end{array}\right)    +  (0.1x+0.2y )  f\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \)

\(  =  (0.3x-0.4y) \left(\begin{array}{l} 1 \\ 2 \end{array}\right)     +  (0.1x+0.2y) \left(\begin{array}{l} 2 \\ 3 \end{array}\right)   \)

\(  =  \left(\begin{array}{l} 0.3x-0.4y \\ 0.6x-0.8y \end{array}\right)    +  \left(\begin{array}{l} 0.2x+0.4y \\ 0.3x+0.6y \end{array}\right)  \)

\(  =  \left(\begin{array}{l} 0.5x \\ 0.9x-0.2y \end{array}\right)     \)

Allerdings ist das hier gar nicht nötig. Denn für den Teil b) brauchst du ja für \( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \)

nur zu überlegen id: \( \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) bildet

die Basisvektoren von \( \mathcal{B} \) auf sich selbst ab. Es ist also analog

zu oben id(b1)=b1 und id(b2)=b2 . Nun kannst du ja b1 und b2 jeweils durch

c1 und c2 darstellen und die dabei bestimmten Zahlen sind die

Elemente der gesuchten Matrix.

Comments

Wie kommt man bei der f.) bei dieser Aufgabe auf f(b1) finde da keinen Weg die f auszurechnen

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Hat sich erledigt

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Moin,

Muss ich dann für \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) jeweils c1 und c2 durch b1 und b2 darstellen?

\( T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) = \( \begin{pmatrix} \frac{1}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{10} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \)

und

\( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) = \( \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

wären meine Ergebnisse für die b) sieht das richtig für dich aus? Wäre nett wenn du einen Blick draufwerfen könntest.

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Muss ich dann für \( T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) jeweils c1 und c2 durch b1 und b2 darstellen?

Nein umgekehrt b1 und b2 durch c1 und c2. Das hast du wohl auch gemacht. Ich komme ich auf

\( \begin{pmatrix} \frac{-1}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{10} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \)  

(Vorzeichen oben links ! )

Probe: Bedenke, dass es um die Koordinatenvektoren geht,

also: Die Koordinaten von id(b1) bzgl. der Basis C sollen

entstehen, wenn man die Matrix mit den Koordinaten von b1

bzgl Basis B multipliziert:

\( \begin{pmatrix} \frac{-1}{10} & \frac{1}{5} \\ \frac{3}{10} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}   \cdot  \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}  \frac{-1}{10} \\  \frac{3}{10} \end{pmatrix}  \)

Und das Ergebnis ist also der Koordinatenvektor für die Darstellung von b1 mit c1 und c2, also musst du zur Probe rechnen

\(   \frac{-1}{10}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} +  \frac{3}{10}\cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}  1 \\  1 \end{pmatrix}  \)  ✓

Und \(T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) ist die Inverse von \(T_{\mathcal{C}}^{\mathcal{B}} \) also

\(T_{\mathcal{B}}^{\mathcal{C}} \) = \( \begin{pmatrix} -4 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix} \)

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Vielen Dank :)