Aloha :)
Gemäß Lagrange muss in einem Extremum der Gradient der zu optimierenden Funktion$$f(x;y;z)=x^2+y^2+z^2$$eine Linearkombination der Gradienten aller konstanten Nebenbedingungen$$g_1(x;y;z)=x^2y^2+z=1\quad;\quad g_2(x;y;z)=x^2+y^2=2$$sein. Das heißt hier konkret:$$\operatorname{grad}f(x;y;z)=\lambda_1\operatorname{grad}g_1(x;y;z)+\lambda_2\operatorname{grad}g_2(x;y;z)$$$$\begin{pmatrix}2x\\2y\\2z\end{pmatrix}=\lambda_1\begin{pmatrix}2xy^2\\2x^2y\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\begin{pmatrix}2x\\2y\\0\end{pmatrix}$$Die Lagrange-Multiplikatoren \(\lambda_1\) und \(\lambda_2\) brauchen wir nicht zu bestimmen, denn wenn die 3 Gradienten linear abhängig sind, müssen sie in einer Ebene liegen. Das von ihnen aufgespannte 3-dimensionale Volumen muss also verschwinden. Da der Betrag der Determinate einer \(n\times n\)-Matrix das \(n\)-dimensionale Volumen angibt, das die Spalten- bzw. Zeilenvektoren aufspannen, heißt unsere Forderung:$$0\stackrel!=\left|\begin{array}{rrr}2x & 2xy^2 & 2x\\2y & 2x^2y & 2y\\2z & 1 & 0\end{array}\right|=2x\cdot2x^2y-2y\cdot2xy^2=4x^3y-4xy^3=4xy(x^2-y^2)$$Das führt uns auf 3 Fälle:$$x=0\quad\lor\quad y=0\quad\lor\quad x^2=y^2$$
Diese setzen wir in die Nebenbedingungen ein...
1. Fall \(x=0\)$$1=g_1(0;y;z)=z\quad;\quad 2=g_2(0;y;z)=y^2$$Dieser Fall liefert also 2 Kandidaten für Extrema:$$K_1(0;\sqrt2;1)\quad;\quad K_2(0;-\sqrt2;1)$$
2, Fall \(y=0\)$$1=g_1(x;0;z)=z\quad;\quad 2=g_2(x;y;z)=x^2$$Wir erhalten 2 weiter Kandidaten für Extrema:$$K_3(\sqrt2;0;1)\quad;\quad K_4(-\sqrt2;0;1)$$
3, Fall \(x^2=y^2\)$$1=g_1(x;x;z)=x^4+z\quad;\quad g_2(x;x;z)=2x^2=2$$Aus der zweiten Bedinung folgt \(x=\pm1\), sodass aus der ersten Bedingung \(z=0\) folgt. Damit liefert dieser Fall 4 weitere Kandidaten:$$K_5(1;1;0)\quad;\quad K_6(1;-1;0)\quad;\quad K_7(-1;1;0)\quad;\quad K_8(-1;-1;0)$$
Einsetzen der Werte ergibt:$$f(\vec k_1)=f(\vec k_2)=f(\vec k_3)=f(\vec k_4)=3$$$$f(\vec k_5)=f(\vec k_6)=f(\vec k_7)=f(\vec k_8)=2$$
Wir haben daher folgende Extrema gefunden:$$\text{Maxima bei}\quad (0;\pm\sqrt2;1)\;\lor\;(\pm\sqrt2;0;1)$$$$\text{Minima bei}\quad (\pm1;\pm1;0)\;\lor\;(\pm1;\mp1;0)$$
